Problème célèbre sans doute pour son caractère esthétique, il apparaît, entre autres, comme le 12e problème de la section 6 de Sacred Geometry.  Ce problème, qui fut proposé en 1788 par Hotta Jinsuke, de l’école Fujita, sur un sangaku suspendu au temple de Yanagjima Myōkendō de Honjyo, à Tōkyō, met en scène un empilement appolonien de cercle à courbures entières, c'est-à-dire un empilement de cercles où les rayons sont tous de la forme \(\frac{1}{N}\) avec \(N \in \mathbb{N}\). L'illustration ci-contre est tirée d'un manuscrit de Iwasaki Toshihisa: les cercles pâles correspondent à ceux de rayons \(R_n\) et les cercles foncés à ceux de rayons \(S_n\) dans l'énoncé qui suit.

Problème

«Dans un cercle de rayon \(R\) on inscrit deux cercles de rayon \(R_0 = \frac{R}{2}\) qui se touchent au centre du cercle initial.  Inscrivons ensuite un cercle de rayon \(R_1\) qui touche l'extérieur des cercles de rayon \(R_0\) et l'intérieur du cercle initial. Continuons la chaîne de cercles pour \(n > 1\) où le cercle de rayon \(R_n\) touche l’extérieur des cercles de rayons \(R_1\) et  \(R_{n-1}\) et l'intérieur du cercle initial.  Et construisons enfin une autre suite de cercles, où le cercle de rayon \(S_n\) touche l'extérieur des cercles de rayons  \(R_1\), \(R_n\) et  \(R_{n+1}\).  Trouvez une expression pour \(R_n\) et pour \(S_n\) en fonction de \(n\) et \(R\).»

C'est un problème qui se résout traditionnellement en utilisant le théorème de Descartes, reliant les rayons de quatre cercles mutuellement tangents deux à deux. Quoique les wasan n'ont pas laissé de traces de l'utilisation de la technique d'inversion, cette technique donne lieu à une jolie solution pour ce problème, en le ramenant à un autre empilement appolonien de cercles à courbures entières, mais pris entre deux droites parallèles.

\(\Rightarrow\) Solution à l'aide du théorème de Descartes

\(\Rightarrow\) Solution à l'aide de la technique d'inversion

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