Dans leur étude des ellipses, les wasan nous amènent un théorème fort utile dans des construction de cercles et d'ellipses liés par des tangences. La compréhension de ce résultat vient en regardant l'ellipse et le cercle qui y est inscrit comme les intersections d'un cylindre et d'une sphère, respectivement, avec un plan. On entend par cercle inscrit un cercle à l'intérieur de l'ellipse qui la touche en deux points. Il s'en suit que ce cercle doit être centré sur le grand axe de l'ellipse.
Théorème
Soient \(D\), la distance séparant le centre de l'ellipse et le centre du cercle inscrit, \(A\) et \(B\), les demi-grand et demi-petit axes de l'ellipse, et \(R\) le rayon du cercle. Posons \( Ç =\sqrt{A^2-B^2}\), où \(Ç\) est la distance entre le centre et les foyers de l'ellipse. Alors
$$ D = \frac{Ç}{B} \sqrt{B^2-R^2} \hspace{0.7cm} \Leftrightarrow \hspace{0.7cm} R = \frac{B}{Ç} \sqrt{Ç^2-D^2} \hspace{0.7cm} \Leftrightarrow \hspace{0.7cm} \frac{D^2}{Ç^2} + \frac{R^2}{B^2} = 1 $$
La dernière formulation de cette relation présente \(D\) et \(R\) comme les coordonnées cartésiennes d'un point de l' ellipse de demi-axes \(Ç\) et \(B\) centrée à l'origine. C'est avec cette ellipse auxiliaire que nous avons construit le cercle inscrit dans l'illustration dynamique ci-dessous. Pour démontrer le théorème, nous avons besoin de voir la correspondance avec le cylindre et la sphère vus de côté, où le plan de coupe apparaît comme une droite:
On remarque, en jouant avec le cercle ci-dessus, que pour des valeurs de \(R\) tendant vers \(0\), on a des cercles qui ne touchent plus l'ellipse et qui se rapprochent du foyer de l'ellipse. C'est parce que la relation du théorème décrit l'intersection d'une sphère inscrite dans un cylindre avec un plan et lorsque ce plan ne touche plus le cercle de contact entre la sphère et le cylindre, le plan coupe la sphère en un cercle disjoint de l'ellipse. Cette relation nous fait voir que, comme dans le cas de l'inscription dans un cône de 2 sphères, de part et d'autre d'un plan sécant, (le cylindre est un cône dont le sommet est à l'infini), les 2 sphères inscrites dans un cylindre et tangentes à un plan sécant touchent ce plan en les foyers de l'ellipse commune au cylindre et au plan.
Démonstration du théorème
Le cylindre et la sphère qui correspondent à notre situation doivent avoir un rayon égal à \(B\), d'où \(\overline{QS} = \overline{PS} = B\) et \(\overline{LN} = 2B\). Le segment \(\overline{MN} = 2A\) correspond au grand axe de l'ellipse et le point \(O\) à son centre. Le segment \(\overline{OC} = D\) et les segments \(\overline{PC}\) et \(\overline{QC} = R\). Par la construction de notre cylindre et l'observation des triangles semblables on déduit que $$ \frac{B}{A} = \frac{\overline{LN}}{\overline{MN}} = \frac{\overline{CS}}{\overline{OS}} \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} \frac{B}{Ç} = \frac{\overline{LN}}{\overline{ML}} = \frac{\overline{CS}}{\overline{OC}} = \frac{\overline{CS}}{D} $$ Or, il se trouve que le segment \(\overline{CS}\) fait aussi partie d'un triangle rectangle avec les segments \(\overline{QS}\) et \(\overline{QC}\), tel que $$ \overline{CS}^2 = \overline{QS}^2 - \overline{QC}^2 = B^2 - R^2 \hspace{0.7cm} \Leftrightarrow \hspace{0.7cm} \overline{CS} = \sqrt{B^2 - R^2} $$ En substituant \(\overline{CS}\) par son expression en termes de \(B\) et \(R\) dans l'avant-dernière égalité, on retrouve la relation cherchée: $$ \frac{B}{Ç} = \frac{\sqrt{B^2 - R^2}}{D} \hspace{0.7cm} \Leftrightarrow \hspace{0.7cm} D = \frac{Ç}{B} \sqrt{B^2 - R^2} $$
Où sont les points de contact entre l'ellipse et le cercle?
Cette représentation tridimensionnelle nous permet aussi de voir à quelle distance du petit-axe de l'ellipse se trouve les points de contact entre le cercle et l'ellipse: ces points correspondent, dans notre vue de côté, au point \(T\), à l'intersection de la droite représentant la plan de coupe et du segment de droite représentant le cercle de contact entre la sphère et le cylindre. La distance en question est alors \(D' = D + \overline{CT}\). L'observation des triangles semblables nous dit que $$ \frac{\overline{CT}}{\overline{CS}} = \frac{\overline{CS}}{\overline{QS}} = \frac{\overline{CS}}{D} = \frac{B}{Ç} $$ D'où l'on peut tirer $$ \overline{CT} \div \frac{B}{ Ç } = \overline{CS} =\frac{B}{ Ç } D \hspace{0.7cm} \Rightarrow \hspace{0.7cm} \overline{CT} = \frac{B^2}{ Ç^2} D \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} D' = \frac{A^2}{ Ç^2} D = \frac{A^2}{BÇ} \sqrt{B^2 - R^2} $$
Le cercle de courbure
On peut se demander quelles sont les valeurs de \(R\) et de \(D\) pour lesquelles nous avons bel et bien un cercle inscrit. En posant la restriction \(D+R=A\) à notre cercle inscrit, on se retrouve avec la cas limite d'une cercle tangent en 2 points de l'ellipse, mais qui est tangent simplement au bout du grand axe de l'ellipse: c'est ce qu'on appelle le cercle de courbure de l'ellipse. C'est aussi le plus grand cercle inscrit dans l'ellipse qui lui soit tangent en ce point de l'ellipse. En résolvant le système engendré par cette restriction et celle du théorème, on trouve \(R\), \(D\) et \(D'\) pour le cercle de courbure: $$ R_c = \frac{B^2}{A} \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} D_c = \frac{Ç^2}{A} \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} D_c' = A $$ Il suit de la dernière égalité que, pour des valeurs de \(R < R_c\) ou de \(D > D_c\), on a \(D' > A\), ce qui voudrait dire que le cercle touche l'ellipse en un point plus éloigné de son petit axe que le bout de son grand axe, ce qui est absurde. On en conclut que le cercle de courbure est le plus petit cercle inscriptible dans l'ellipse qui respecte la relation donnée par le théorème. Et donc, pour que le cercle à l'intérieur à l'ellipse lui soit tangent en deux points, il faut que \(D \in [0, \frac{Ç^2}{A} )\) ou que \(R \in (\frac{B^2}{A}, B] \).
