«Soit \(A, B, C\) et \(D\) les mesures du côté des quatre carrés partageant certains de leurs sommets, tel qu'illustré ci-haut. Exprimez l'un de ces côtés en fonction des trois autres.»
C'est le 27e problème du 4e chapitre de Sacred Geometry. Ce problème se retrouve dans Kokon Sankan (Mathématiques, hier et aujourd’hui, 1832), où Uchida Kyō cite 23 sangaku suspendus entre 1820 et 1830. Le problème fut proposé par Takeda Sadatada sur un sangaku suspendu au sanctuaire d’Atago en 1830, dans la ville d’Edo (Tōkyō).
Solution inscrite sur le sangaku
Résoudre ce problème revient à dire que l'aire totale des carrés qui ne se touchent pas est deux fois plus grande que l'aire des carrés qui touchent à trois carrés:
$$A=\sqrt{2B^2+2C^2-D^2} \hspace{8mm} \Leftrightarrow \hspace{8mm} A^2+D^2=2(B^2+C^2) $$
La loi des cosinus donne la mesure au carré d'un côté d'un triangle en fonction de l'angle opposé à ce côté et des mesures des deux autres côtés du triangle. Les wasan écrivaient plutôt cette loi sans cosinus, c'est-à-dire en fonction de la mesure de projection d'un côté du triangle sur un autre. Dans cette loi sans cosinus, la projection \(k=C\cos\theta\) doit être considérée négative si elle est extérieure au triangle:
$$ A^2 = B^2 + C^2 - 2BC\cos\theta \hspace{8mm} \Leftrightarrow \hspace{8mm} A^2 = B^2 + C^2 - 2Bk $$
Les angles \(\theta\) et \(phi\), de part et d'autre du sommet commun aux carrés de côté \(C\) et \(D\), sont supplémentaires (\(\theta+\phi=\pi\)) et alors les projections \(C\cos\theta\) et \(C\cos\phi\) sont égales mais de signes opposés. Cela nous permet alors d'écrire la loi des cosinus, pour le triangle de côtés \(A,B\) et \(C\) et pour le triangle de côtés \(B,C\) et \(D\), comme
$$ A^2 = B^2 + C^2 - 2BC\cos\theta \hspace{8mm} \text{ou} \hspace{8mm} A^2 = B^2 + C^2 - 2Bk \hspace{8mm} \text{et} \\ D^2 = B^2 + C^2 + 2BC\cos\theta \hspace{8mm} \text{ou} \hspace{8mm} A^2 = B^2 + C^2 + 2Bk$$
En faisant la somme de ces deux équations, on élimine le terme en \(\theta\) ou celui en \(k\) et on obtient la relation désirée.
$$ A^2+D^2=2(B^2+C^2) \\ \blacksquare $$
