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Exercice | Énoncé |
| Exercice 10 | Tous les chiffres des nombres suivants sont significatifs. Donner une borne supérieure de l'erreur absolue et estimer l'erreur relative. \begin{array}{lll} \mbox{a)}\; 0,1234 & \mbox{b)} \; 8,760 & \mbox{c)} \; 3,141\,56 \\ \mbox{d)}\; 0,112\,35 \times 10^{-3} & \mbox{e)} \; 8,000 & \mbox{f)} \; 0,223\,56 \times 10^{8} \end{array} |
| Exercice 11 | On considère l'expression: \begin{multline*} x=((((((( 0,1\times 10^0 + 0,1\times 10^{-3})+0,4\times 10^{-3}) \\ +0,2\times 10^{-3})+0,1\times 10^{-3}) +0,2\times 10^{-3})+0,1\times 10^{-3}) \end{multline*} a) Calculer la valeur de \(x\) en arithmétique exacte, puis en arithmétique flottante à 3 chiffres avec arrondi, en respectant l'ordre prescrit par les parenthèses. Expliquer la différence entre les résultats. Déterminer l'erreur relative. b) Proposer une modification de l'ordre de sommation qui permette d'obtenir une réponse plus précise en arithmétique flottante à 3 chiffres. Valider votre réponse en calculant de nouveau l'erreur relative. |
| Exercice 12 a) b) | On souhaite évaluer la somme: \[\displaystyle \sum^{10}_{i=1}(1/i^2)\] en arithmétique flottante à \(3\) chiffres avec troncature de deux façons différentes. a) Évaluer \(1/1+1/4+\cdots + 1/100\); b) Évaluer \(1/100+1/81+\cdots +1/1\). |
| Exercice 15 | On doit effectuer l'opération \(1 \, - \, \cos x\) pour des valeurs de \(x\) voisines de 0. Expliquer ce qui risque de se produire du point de vue de l'arithmétique flottante et proposer une solution de rechange. |
| Exercice 16 | Donner une façon d'évaluer les expressions suivantes qui permette d'éviter le plus possible les erreurs dues à l'arithmétique flottante. a) \(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta\) pour des valeurs de \(\theta\) autour de \(\frac{\pi}{4}\) b) \(p(2)\), où \(p(x) = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3\) c) \( \displaystyle{ \sum_{i=1}^{100} \frac{1}{i^2} }\) |
| Exercice 21 |
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| Exercice 22 | Estimer les erreurs commises dans l'évaluation des fonctions de plusieurs variables suivantes. Tous les chiffres fournis sont significatifs. Indiquer le nombre de chiffres significatifs du résultat. a) \(f(x,y) = x^2y^3\) en \(x^* = 12,1, \; y^* = 3,721\) b) \(f(x,y,z) = -xyz\) en \(x^* = 1,260, \; y^* = 0,5\times 10^{-3}, \; z^* = 12,93\) |
| Exercice 24 | Dans la revue Science & Vie de septembre 1996, on fournit les données suivantes pour le satellite Titania d'Uranus: |
| Exercice 28 | Soit \(S_n=\displaystyle \int^\pi_0\left(\frac x\pi\right)^{2n}\sin x \,dx\). Cette suite est positive car l'intégrand est une fonction positive dans l'intervalle considéré. a) Montrer que l'on obtient la relation de récurrence : $$S_n=1-\frac{2n(2n-1)}{\pi^2}S_{n-1},\quad n=1,2,\cdots$$ b) Il est facile de s'assurer que \(S_0=2\). Montrer expérimentalement que cette récurrence est instable en calculant \(S_1,S_2...,S_{16}\). L'instabilité se traduira par l'apparition de valeurs négatives. c) On pourrait facilement montrer \(S_n\) tend vers \(0\). Utiliser cette fois la récurrence inverse, en partant de \(S_{15}=0\), pour calculer: $$S_{14},S_{13},\cdots,S_0$$ Que constatez-vous? |
| Exercice 37 | Si \(\displaystyle f(x) = \sqrt {4+x}\). a) Trouver le développement de Taylor de degré 2 de la fonction \(f(x)\) au voisinage de \(x_0=0\). b) En utilisant le polynôme obtenu en a), donner une approximation de \(\sqrt{3,9}\). En utilisant la valeur <<exacte>> de \(\sqrt{3,9}\) (donnée par votre calculatrice par exemple), estimer l'erreur absolue et l'erreur relative commises. c) Quels sont les chiffres significatifs de l'approximation obtenue en \nolinebreak a)? |