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Exercice | Énoncé |
| Exercice 4 | Obtenir la multiplicité \(m\) de la racine \(r\) des fonctions suivantes. a) \(f(x) = x^2 - 2x + 1\), en \(r=1\) b) \(f(x) = x^3 - 2x^2 + x\), en \(r=0\) c) \(f(x) = x \sin x\), en \(r=0\) d) \(f(x) = \displaystyle{ \frac{\sin x}{x} }\), en \(r=0\) |
| Exercice 5 | On considère l'équation : \begin{equation} e^x-(x+5)=0\end{equation} a) Déterminer le nombre et la position approximative des solutions positives de l'équation précédente. b) Utiliser l'algorithme de la bissection pour déterminer chacune de ces racines avec une erreur absolue inférieure à \(10^{-7}\). c) Déterminer combien d'itérations de la méthode de la bissection seraient nécessaires pour calculer la racine la plus proche de 1 avec une précision de \(10^{-8}\), en partant de l'intervalle \([0,2]\). Ne pas faire les itérations. |
| Exercice 7 | Calculer les points fixes des fonctions suivantes et vérifier s'ils sont attractifs ou répulsifs. a) \(g(x) = 4x-x^2\) b) \(g(x) = \sqrt{x}\) c) \(g(x) = \arcsin x\) d) \(g(x) = 5 + x - x^2\) |
| Exercice 15 | L'équation : $$x^4-2x^2-8=0$$ possède deux racines réelles, \(-2\) et \(2\) et elle peut s'écrire de plusieurs façons sous la forme \(x=g(x)\). En choisir deux et répondre aux questions suivantes. a) Écrire un programme pour calculer les itérés successifs de l'algorithme du point fixe pour vos deux choix de fonctions \(g(x)\). Itérer jusqu'à ce que : $$\frac{|x_{n+1}-x_n|}{|x_n|}<10^{-6}$$ b) Le comportement des deux algorithmes est-il le même pour les deux racines? c) Calculer expérimentalement le taux de convergence dans chaque cas. d) Obtenir le taux de convergence théorique dans chaque cas. e) Est-ce que la méthode de la bissection serait plus lente que les deux méthodes des points fixes utilisées pour la détermination de la racine \(2\), si l'intervalle de départ était \([0,4]\) et la condition d'arrêt était \(|b-a|<10^{-6}\)? |
| Exercice 17 | On cherche à résoudre l'équation: \[ x^2 - 2 = 0 \] (dont la solution est \(\sqrt{2}\)) au moyen de la méthode des points fixes: \[ x_{n+1} = g(x_n) = x_n - \rho (x_n^2 -2) \] où \(\rho\) est une constante. |
| Exercice 18 | L'équation \(x^2=2\) peut être mise sous la forme: \begin{equation} x=\frac 2x \end{equation} a) Montrer que l'algorithme du point fixe appliqué à cette équation ne produit jamais une suite qui converge vers \(\sqrt{2}\) sauf si \(x_0=\sqrt{2}\). b) Écrire explicitement l'algorithme de Steffenson appliqué à cette équation et vérifier qu'il coïncide avec l'algorithme de Newton appliqué à \(x^2-2=0\). |
| Exercice 19 | On a calculé une racine de: |
| Exercice 20 | Une équation \(f(x)=0\) possède deux racines \(x_1=-1\) et \(x_2=2\). En partant de deux points de départ \(x_0^1\) et \(x_0^2\) différents, la méthode de Newton produit les résultats suivants: \begin{array}{|c|c|c|} \hline n & x^1_0 & x^2_0 \\ \hline 1 & -1,8889 & 1,6667 \\ 2 & -1,2789 & 1,8444 \\ 3 & -1,0405 & 1,9244 \\ 4 & -1,0011 & 1,9627 \\ 5 & -1,0000 & 1,9815 \\ 6 & -1,0000 & 1,9908 \\ \hline \end{array} a) Déterminer, à partir de ces résultats numériques, si cet algorithme converge linéairement ou quadratiquement et ce, pour chacune des racines. Dans le cas de la convergence linéaire, donner une approximation du taux de convergence. b) Que peut-on dire de la multiplicité de chacune des racines? |
| Exercice 22 a) b) c) | On vous propose la méthode des points fixes suivante pour évaluer la racine cubique \(\sqrt[3] N\) d'un nombre \(N\): |
| Exercice 24 | On considère l'équation: $$\cos (x)-x=0$$ a) Montrer qu'elle possède exactement une racine dans l'intervalle \((0,\infty)\). b) Sans faire d'itérés, montrer que l'algorithme \(x_{n+1}=\cos (x_n)\) est nécessairement convergent. c) Qu'en est-il de l'algorithme \(x_{n+1}=\arccos (x_n\))? |
| Exercice 28 | Soit \(f(x)\) une fonction vérifiant les conditions: \[ \left\{ \begin{array}{l} f(r) = 0 \\ f'(r) \neq 0 \\ f''(r) = 0 \\ f'''(r) \neq 0 \\ \end{array} \right. \] a) Quelle est la multiplicité de la racine \(r\) de \(f(x)\)? b) Montrer que la méthode de Newton converge à l'ordre 3 au voisinage de cette racine. |
| Exercice 30 | L'algorithme suivant est une modification de la méthode de Newton: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} - \frac{1}{2}\frac{f''(x_n)}{f'(x_n)}\left(\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\right)^2 \] |