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Exercice | Énoncé |
| Exercice 1 | Soit la matrice: \[ \left [ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right ] \] Identifier les matrices \(W\) qui permettent d'effectuer les opérations suivantes: \begin{array}{ll} \mbox{a) } \vec l_2 \leftarrow \vec l_2 - 3 \vec l_1 & \mbox{b) } \vec l_2 \leftrightarrow \vec l_3 \\ \mbox{c) } \vec l_2 \leftarrow 5 \vec l_2 & \mbox{d) } \vec l_3 \leftarrow \vec l_3 + 5 \vec l_2 \\ \end{array} |
| Exercice 2 a) b) | Résoudre les systèmes triangulaires suivants: a) \[ \left [ \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 2 & 4 & 6 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{r} 9 \\ 13 \\ 20 \end{array} \right ] \] b) \[ \left [ \begin{array}{ccr} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & -3 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{r} 0\\ -4\\ 6 \end{array} \right ] \] Calculer le déterminant de ces deux matrices. |
| Exercice 6 | On veut résoudre le système linéaire suivant par élimination de Gauss. \[ \left [ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{r} 1\\ -2\\ 1 \end{array} \right ] \] a) La matrice de ce système linéaire est-elle singulière? b) Combien de solutions ce système linéaire possède-t-il? |
| Exercice 7 | a) Effectuer l'élimination de Gauss (sans permutation de lignes) sur le système: \[ \left [ \begin{array}{cc} 2 & -6 \alpha \\ 3 \alpha & -1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right ] =\left [ \begin{array}{c} 3 \\ \beta \end{array} \right] \] b) Calculer le déterminant de \(A\) en vous servant de l'élimination de Gauss. c) Déterminer les valeurs de \(\alpha\) et de \(\beta\) pour lesquelles la matrice \(A\) est non inversible (singulière). d) Que pouvez-vous dire de la solution de ce système quand \(\alpha = 1/3\) et \(\beta = 1\)? |
| Exercice 8 a) b) | Résoudre les systèmes linéaires suivants par la méthode de décomposition \(LU\) de Crout (sans permutation de lignes). |
| Exercice 10 | Soit la matrice:\begin{equation*} A=\left[\begin{array}{lcr} 0&3&0\\1&2&0\\3&5&2\end{array}\right] \end{equation*} a) Peut-on factoriser $A$ sous la forme: \begin{equation} \label{facto} A=\left[\begin{array}{lrc}l_{11}&0&0\\ l_{21}&l_{22}&0\\ l_{31}&l_{32}&l_{33}\end{array}\right] \left[\begin{array}{lcr}1&u_{12}&u_{13}\\0&1&u_{23}\\0&0&1\end{array}\right]\end{equation} b) Écrire la matrice \(A\) sous la forme \(A=P^{-1}B\) où \(P\) est une matrice de permutation et \(B\) une matrice que l'on peut factoriser sous la même forme qu'en a). c) Factoriser \(B\) pour résoudre: $$A\begin{bmatrix} x_1\cr x_2\cr x_3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1\cr 0\cr 1 \end{bmatrix} $$ |
| Exercice 14 | Considérer le système linéaire suivant: |
| Exercice 19 | Représenter graphiquement dans le plan les ensembles suivants: a) \(\left \{ \vec x \; | \; ||\vec x||_2 \leq 1 \right \}\) b) \(\left \{ \vec x \; | \; ||\vec x||_{\infty} \leq 1 \right \}\) |
| Exercice 22 | Calculer le déterminant et le conditionnement de la matrice: |
| Exercice 26 a) b) c) | Considérer le système linéaire suivant: \[ \left[ \begin{array}{rr} 1 & 5 \\ 1,0001 & 5 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 6,0000 \\ 6,0005 \\ \end{array} \right] \] dont la solution exacte est \(\vec x = \left[\begin{array}{c}5 \\ 0,2\end{array}\right]\). a) Calculer les résidus correspondant aux solutions approximatives \(\vec x_1 = \left[\begin{array}{c}5,1 \\0,3\end{array}\right]\) et \(\vec x_2 = \left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \end{array}\right]\). Calculer les quantités \(||\vec r_1||_{\infty}\), \(||\vec r_2||_{\infty}\), \(||\vec x- \vec x_1||_{\infty}\) et \(||\vec x- \vec x_2||_{\infty}\), comparer les résultats et conclure. b) Trouver la solution exacte du système après le remplacement du membre de droite par \(\left[\begin{array}{c} 6 \\ 6 \end{array}\right]\) et conclure. c) À la lueur des résultats obtenus en a) et en b), conclure sur le conditionnement de la matrice de ce système et calculer ce conditionnement. |