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Exercice | Énoncé |
| Exercice 1 | Il n'existe pas de polynôme de degré \(n\) dont la courbe passe par \((n+2)\) points donnés. Commenter. |
| Exercice 2 | Obtenir le polynôme de degré 2 passant par les points suivants : \begin{array}{|c|c|} \hline |
Exercice 3 | Déterminer un polynôme de degré 2 vérifiant les conditions suivantes: a) \(\displaystyle p(0)=1,\quad p(1)=0,\quad p(2)=0.\) b) \(\displaystyle p(0)=1,\quad p'(0)=0,\quad p(1)=1.\) c) \(\displaystyle p(0)=1,\quad p'(0)=1,\quad p(1)=0.\) Dans les deux derniers cas, justifier le fait que le problème possède une solution unique. Refaire la question a) en utilisant la formule de Lagrange. |
| Exercice 7 | Soit les points suivants: \begin{array}{|r|c||r|r|} \hline |
| Exercice 11 | Si on utilise les nœuds également espacés: $$x_i=1+i\frac 9n,\quad i=0,\dots,n$$ sur l'intervalle \([1,10]\) pour interpoler \(f(x)=\sqrt{x}\) par une fonction linéaire par morceaux, quelle devrait être la valeur de \(n\) pour que l'erreur d'interpolation soit d'au plus \(10^{-6}\)? |
| Exercice 12 | On a tabulé une fonction \(f(x)\) dont on sait par ailleurs que pour \(x\) entre \(0,0\) et \(0,3\), on a \(|f^{(2)}(x)| \leq 5\) et \(|f^{(3)}(x)| \leq 3\): \begin{array}{|c|c||c|c|} \hline x_i & f(x_i) & x_i & f(x_i) \\ \hline 0,0 & 0,1 & 0,2 & 0,3 \\ 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,5 \\ \hline \end{array} a) Calculer la table des différences divisées. b) Utiliser cette table pour calculer le polynôme d'interpolation de degré 3 passant par tous les points. c) Est-il possible d'approcher \(f(x)\) au point \(x = 0,18\) avec une erreur inférieure \`a \(10^{-4}\) en utilisant l'interpolation quadratique basée sur les nœuds \(0,1, 0,2 \;\mbox{et}\; 0,3\)? Justifier. |
| À partir des données de l'exercice 4: a) Obtenir le système linéaire nécessaire pour calculer la spline naturelle dans l'intervalle \([0 , 4]\). b) Résoudre ce système et obtenir la valeur des dérivées secondes de la spline en chaque point d'interpolation. c) Obtenir une approximation de \(f(1,5)\) à l'aide de la spline. | |
Exercice 14 a), b), c), d) et e) | Obtenir une approximation de \(f(4,5)\) en utilisant un polynôme de degré 2 ainsi que les données suivantes. \begin{array}{|r|c||r|r|} \hline |
| Exercice 18 | Soit les trois points \((0 , 0)\), \((1 , 1)\) et \((2 , 8)\) de la fonction \(f(x) = x^3\). a) Obtenir le système linéaire de dimension 3 permettant de calculer la spline cubique naturelle passant par ces trois points. b) À l'aide de la spline trouvée en a), donner une approximation de \(f(\frac{1}{2})\) et comparer le résultat avec la valeur exacte \(\frac{1}{8}\). c) En interpolant une fonction cubique (\(f(x) = x^3\)) par des polynômes de degré 3 dans chaque intervalle, on obtient quand même une erreur. Expliquer. |
| Exercice 20 | On souhaite concevoir un virage d'une voie de chemin de fer entre les points \((0 , 0)\) et \((1 , 1)\). Le virage est décrit par une courbe de la forme \(y=f(x)\) qui satisfait: \[ f(0) = 0 \; \;\; \mbox{et} \;\; f(1) = 1 \] De plus, pour assurer une transition en douceur, la pente de la courbe doit satisfaire: \[ f'(0) = 0 \; \;\; \mbox{et} \;\; f'(1) =0,3 \] On représente la courbe à l'aide d'un polynôme dans l'intervalle \([0 , 1]\). a) Quel est le degré minimal que ce polynôme devra avoir pour remplir toutes les conditions? b) Calculer ce polynôme. |
| Exercice 21 | Soit une fonction \(f(x)\) dont on connaît la valeur en certains points. \[ \begin{array}{|c|c||c|c|} \hline x & f(x) & x & f(x) \\ \hline 0,0 & 3,0 & 3,0 & \hspace{6pt} 6,0 \\ 1,0 & 2,0 & 4,0 & 11,0 \\ 2,0 & 3,0 & 5,0 & 18,0 \\ \hline \end{array} \] a) Calculer la table de différences divisées. Montrer que les troisièmes différences divisées sont nulles. b) Que conclure au sujet de la fonction \(f(x)\)? |
| Exercice 23 | On considère la table suivante d'une fonction \(f(x)\): \[ \begin{array}{|c|c||c|c|} \hline x & f(x) & x & f(x) \\ \hline 0,0 & 1, 000\,000 & 3,0 & 10, 067\,66\\ 1,0 & 1, 543\,081 & 4,0 & 27, 308\,23\\ 2,0 & 3, 762\,196 & & \\ \hline \end{array} \] Obtenir la meilleure approximation possible de \(f(2,1)\) en utilisant un polynôme de degré 2 et la méthode d'interpolation de Newton. |
| Exercice 24 | Soit les points \((0 , 1)\), \((1 , 2)\) et \((2 , \frac{7}{6})\) d'une fonction \(f(x)\). Dans les intervalles \([0 , 1]\) et \([1 , 2]\), on définit les polynômes: \[ p_0(x) = 1 + \frac{3x}{2} - \frac{x^3}{2} \;\;\;\; \mbox{pour}\;\; x\in [0 , 1] \] et: \[ p_1(x) = -\frac{1}{6} + 5x - \frac{7x^2}{2} + \frac{2x^3}{3} \;\;\;\; \mbox{pour}\;\; x\in [1 , 2] \] a) Vérifier que ces 2 polynômes satisfont toutes les propriétés d'une spline cubique. b) Est-ce une spline naturelle? |
| Soit \(p_2(x)\) le polynôme qui interpole \(f(x)=x^3\) aux points \((0,0),(-1,-1)\) et \((1,1)\). Sans déterminer l'équation de \(p_2(x)\), calculer: \[E_2(x)=f(x)-p_2(x)\] et déterminer en quel(s) point(s) de \([-1,1]\; E_2(x)\) est maximale. | |
| Exercice 30 |