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Exercice | Énoncé |
| Exercice 3 | Évaluer la dérivée de \(f(x)=e^x\) en \(x=0\) à l'aide des différences avant et arrière d'ordre 2. Prendre \(h=0,05\) et \(h=0,025\) et calculer le rapport des erreurs commises. Obtenir une approximation encore plus précise de \(f'(0)\) à l'aide de l'extrapolation de Richardson. |
| Exercice 6 | Un polynôme \(p(x)\) de degré \(2\) est tel que \(p(0)=1, p(1)=7\) et \(p(2)=17\). a) Calculer \(p^\prime(1)\) exactement sans calculer \(p(x)\). b) Pouvez-vous faire de même pour calculer \(p^{\prime\prime}(x)\), ou \(x\) est arbitraire? c) Déterminer \(p(x)\) par la méthode de votre choix et comparer sa dérivée en \(x=1\) avec la valeur trouvée en a). |
| Exercice 7 | On donne le tableau suivant des valeurs d'une fonction \(f(x)\): \begin{array}{|c|c||l|c|}\hline x & f(x) & x & f(x) \\\hline 2,7 & 10,2720,9350 & 3,025 & 10,152\;708\;53 \\\hline 2,9 & 10,188\;543\;49 & 3,1 & 10,137\;470\;96 \\\hline 3,0 & 10,158\;837\;43 & 3,2 & 10,124\;539\;27 \\\hline \end{array} Sachant que \(f'(3)=-0,255605459076443\), comparer la précision des différentes formules d'ordre 2 que vous pouvez utiliser \`a partir de ces données. |
| Exercice 11 | Soit \(f(x)\) une fonction convexe. L'approximation de \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) fournie par la méthode des trapèzes composée est-elle plus grande ou plus petite que la valeur exacte? Rappel : une fonction est convexe si \(f''(x)\geq 0\). |
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| Exercice 13 | Intégrer la fonction \(f(x)=e^x\) dans l'intervalle \([0 , 1]\) en utilisant la méthode des trapèzes composée avec 4 puis avec 8 intervalles. Utiliser l'extrapolation de Richardson avec les deux valeurs obtenues pour atteindre une valeur plus précise. Quel est l'ordre de cette nouvelle approximation? Comparer les résultats avec la valeur exacte. |
| Exercice 15 | Utiliser la méthode de Simpson 3/8 avec 6 intervalles pour évaluer: \[ \int_1^9 \sqrt x dx \] Comparer le résultat avec la valeur exacte. |
| Exercice 16 | Si on approche \(I=\int_1^2 \ln x\, dx\) par la formule de Simpson 1/3, l'approximation sera-t-elle plus grande ou plus petite que \(I\)? Répondre à cette question sans calculer d'approximation. |
| Exercice 23 |
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| Exercice 29 | Déterminer les constantes \(a_0\), \(a_1\) et \(a_2\) pour que la formule de quadrature: \[ \int_{-1}^1 f(t) dt \simeq a_0 f\left(-\frac{1}{2}\right) + a_1 f(0) + a_2f\left(\frac{1}{2}\right) \] soit de degré d'exactitude le plus élevé possible. Donner ce degré d'exactitude. |
| Exercice 30 | Déterminer les poids d'intégration \(w_1\) et \(w_2\) ainsi que le point d'intégration \(t_2\) de sorte que la formule de quadrature dite de Gauss-Radau: \[ \int_{-1}^1 f(t) dt \simeq w_1 f(-1) + w_2 f(t_2) \] soit de degré d'exactitude le plus élevé possible. Donner ce degré d'exactitude. |
| Exercice 31 | Trouver \(A,B,C\) pour que la formule d'intégration numérique: $$\int_0^1 f(x)\,dx\approx A f(0)+ B f\left(\frac{1}{3}\right)+ C f(1)$$ soit exacte pour tous les polynômes de degré au plus 2. En déduire le degré d'exactitude de la formule obtenue? |
| Exercice 33 | L'intégrale elliptique: $$I=\int_0^{2\pi} \sqrt{1+\sin^2x}\,dx=7,640395578055424035$$ est souvent rencontrée dans les applications. Utiliser la formule de Gauss-Legendre à 4 points, à l'aide du tableau de la figure 6.8, pour obtenir une approximation de I. Quel serait le résultat obtenu avec la formule de Simpson en utilisant 5 noeuds? |
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