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Exercice | Énoncé |
exercice 1 | Faire trois itérations avec $h=0,$ des méthodes d'Euler explicite, d'Euler modifiée, du point milieu et de Runge-Kutta d'ordre 4 pour les équations différentielles suivantes: \[ \begin{array}{lll} \mbox{a)} & y'(t) = t \sin(y(t)) & (y(0) = 2) \\ \mbox{b)} & y'(t) = t^2 + (y(t))^2 + 1 & (y(1) = 0) \\ \mbox{c)} & y'(t) = y(t) e^t & (y(0) = 2) \\ \end{array} \] |
exercice 2 | L'équation différentielle: \[ y'(t) = y(t) + e^{2t} \;\;\;\; (y(0) = 2) \] possède la solution analytique \(y(t) = e^t + e^{2t}\). a) En prenant \(h=0,\), faire 3 itérations de la méthode d'Euler modifiée et calculer l'erreur commise sur \(y_3\) en comparant les résultats avec la solution analytique \(y(0,)\). b) En prenant \(h=0,5\), faire 6 itérations de la méthode d'Euler modifiée et calculer l'erreur commise sur \(y_6\) en comparant les résultats avec la solution analytique \(y(0,)\). c) Faire le rapport des erreurs commises en a) et en b) et commenter le résultat en fonction de l'erreur de troncature locale liée à la méthode utilisée. d) Utiliser l'extrapolation de Richardson pour obtenir une meilleure approximation de \(y(0,)\). |
exercice 12 | On considère l'équation différentielle: $$y'(t)=2t-3y(t),\quad y(0)=1$$ a) Montrer que la solution exacte est donnée par: $$y(t)= -\frac 29+\frac 23\,t+\frac{11}9\,e^{-3t}$$ b) Vérifier que les approximations obtenues en prenant \(h=0,25\) et la méthode de Taylor d'ordre 2 ou la méthode de Runge-Kutta d'ordre 2 sont égales. c) Écrire les formules aux différences (voir l'équation 7.4) obtenues pour chacune des deux approches. Expliquer pourquoi, dans ce cas particulier, les deux formules coïncident.
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| Transformer le système de 2 équations différentielles d'ordre 2 suivant en un système de 4 équations différentielles d'ordre 1. Bien indiquer les conditions initiales. \[ \left\{ \begin{array}{cclll} x''(t) & = & \displaystyle{ \frac{-x(t)}{\left( (x(t))^2 + (y(t))^2 \right)^{\frac{3}{2}}} }& x(0) = 0,4 & x'(0) = 0,0 \\ &&&\\ y''(t) & = & \displaystyle{ \frac{-y(t)}{\left( (x(t))^2 + (y(t))^2 \right)^{\frac{3}{2}}} }& y(0) = 0,0 & y'(0) = 2,0 \\ \end{array} \right. \]
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