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Exercice | Énoncé |
| Série 3 exercice 4 | On considère l'équation $$f(x) = x^3-4x^2=0$$ Écrire l'algorithme de Newton sous la forme \(x_{n+1}=g(x_n)\) et simplifier \(g\) au maximum. Ensuite, faire une étude théorique (ordre, taux si applicable) de la convergence pour chacune des racines \(x_1 =0\) et \(x_2=4\). Pour la racine \(x_1=0\), montrer que l'algorithme $$x_{n+1}=x_n=-\frac{2f(x_n)}{f^\prime(x_n)}$$ converge quadratiquement. |
| Série 4 exercice 3 | Montrer que calculer l'inverse de $$\left(\begin{array}{cccc} 4 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 6 & 0 \\ 0 & 6 & 18 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 5 \end{array}\right)$$ est équivalent à résoudre 4 systèmes linéaires \(Ax=b\) où \(b=(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)\) et \((0,0,0,1)\). Proposer ensuite une façon de résoudre ces 4 systèmes qui soit très économique. |
| Série 7 exercice 4 | Un polynôme de degré 2, \(p(x)\) est tel que $$p(0)=1, p(1)=7, p(2)=17$$. Expliquez comment on pourrait calculer \(p^\prime(1)\) exactement sans calculer \(p(x)\). Faites ce calcul puis déterminez \(p\) par la méthodes des systèmes linéaires et comparer sa dérivée en 1 avec la valeur calculée. Pouvez-vous faire de même pour calculer \(p^\prime(x)\) où \(x\) est arbitraire? |