Comment a-t-on pu s'attaquer à l'époque au calcul d'aire sous les fonctions les plus simples, à savoir les polynômes, qui sont de la forme \(f(x)=c_0+c_1 x+c_2 x^2 + \ldots + c_n x^n \), où les \(c_k\) sont des constantes.  Ce résultat précède de loin la découverte des séries entières, car il découle de la connaissance des sommes finies de la forme \(S_n^k=\sum_{j=1}^n j^k\).

Prenons la notation moderne de l'intégrale \( \int_{0}^{x_0} \, f(x) \, dx \) pour désigner l'aire comprise entre les droites \(y=0\), \(x=0\) et \(x=x_0\) et la courbe \(y=f(x)\).  Il était alors admis que, pour des fonctions \(f(x), g(x)\) et des constantes \(a, b\), l'intégrale

$$\int_{0}^{x_0} (a f(x)+ b g(x))\,dx\\=a\int_{0}^{x_0}f(x)\,dx +b\int_{0}^{x_0}\,g(x)\, dx$$

Il s'en suit que le problème du calcul d'aire bornée par des courbes polynomiales se réduit donc à celui d'intégrer une fonction de la forme \(f(x)=x^k\).  Les formules des intégrales pour \(k \in \{0, 1\} \) sont les formules d'aires pour un rectangle et un triangle:

$$\int_{0}^{x_0}\,1\,dx=x_0\hspace{1cm}\text{et}\hspace{1cm} \int_{0}^{x_0} \, x \, dx = \frac{x_0^2}{2} $$

Le calcul pour \(k \ge 2\) exige qu'on connaisse l'expression polynomiale pour la somme des \(n\) premières puissances \(k\)-ièmes: \(  \sum_{i=1}^{n} i^k \). Vous avez ci-contre une illustration du cas pour \(k=2\). On construit \(n\) rectangles disjoints incrits dans la zone comprise entre les droites \(y=0\), \(x=0\) et \(x=x_0\) et la courbe \(y=x^2\), tels que leur largeur \( \Delta x = \frac{x_0}{n}\) et tels que la hauteur du i-ème rectangle \( \Delta y_i =  \Big(\frac{i x_0}{n}\Big)^2 \).  Alors la somme des aires de ces rectangles \(A= \Big(\frac{ x_0}{n}\Big)^3 \sum_{i=1}^{n-1} i^2  \). Nous avons

$$ \sum_{i=1}^{n-1} i^2 =  \frac{n^3}{3} - \frac{n^2}{2} +\frac{n}{6} \Rightarrow   A = x_0^3 \Big( \frac{1}{3} - \frac{1}{2n} +\frac{1}{6n^2} \Big) $$

On remarque plus on augmente le nombre de rectangles \(n\), plus la région couverte par les rectangles se rapproche de la zone d'aire\( \int_{0}^{x_0} \, x^2 \, dx \) et plus la valeur de l'aire totale \(A\) se rapproche de \( \frac{x_0^3 }{3} \).  Il y a donc ici un passage nécessaire à la limite lorsque \(n\) tend vers l'infini,  pour en arriver à la conclusion que

$$ \int_{0}^{x_0} \, x^2 \, dx = \lim_{n \to \infty} A = \frac{x_0^3 }{3} $$

Le même raisonnement, en notant l'aire sous la courbe \(y=x^k\) par \(A_k\), on arrive au constat général

$$ \int_{0}^{x_0} \, x^k \, dx = \lim_{n \to \infty} A_k = \frac{x_0^{k+1} }{k+1} $$

$$\blacksquare$$