Takebe livre alors, dans son Tetsujutsu Sankei, une série entière pour la demi-longueur au carré d'un arc de cercle \((\frac{L}{2})^2\) en fonction de la longueur du sagitta \(= s = r(1 - \cos{\theta }) \). Le sagitta, ou sinus verse, est la hauteur de l'arc de cercle de rayon \(r\) couvrant un angle de \( 2 \theta\), qui part du milieu de l'arc et se rend au millieu de la corde le sous-tendant, comme c'est illustré ci-contre. Takebe découvrit sa formule en observant les décimales d'un nombre qu'il a calculé avec une remarquable précision, à l'aide du soroban, soit la demi-longueur de l'arc au carré, \( (\frac{L}{2})^2\), pour un diamètre \(2r = 10\) et un sagitta \(s=10^{-5}\):
$$ \big(\frac{L}{2}\big)^2 =0.000010000003333335111112253969066 $$
Posons, pour simplifier la notation, \(S = s \div 2r=10^{-6}\). On peut déjà apercevoir à l'œil nu que cette valeur de \( \big(\frac{L}{2}\big)^2\) est approché par \( 2r (S + \frac{1}{3} S^2 )\). Takebe se rendit compte d'une régularité dans les coefficients des \(S^k\) et obtint ainsi la série entière en \( S \) exprimant une fonction équivalente à \((2r \arcsin \sqrt{S} )^2 \). Puisque \(s = r(1 - \cos\theta) = 2r(\sin{\frac{\theta}{2}})^2\), on a bel et bien que \( (\frac{L}{2})= r \theta = 2r (\arcsin{ \sqrt{S} }) \).
$$ \Big(\frac{L}{2}\Big)^2 = 2r \Big\{ \frac{1}{3} S + \frac{8}{45} S^2 + \frac{4}{35} S^3 + \frac{128}{1575} S^4 + \ldots \Big\}$$
En prenant un diamètre \(2r = 1\), on obtient le développement en série entière pour \((\arcsin \sqrt{s} )^2 \). Et en posant \(s=S=1\), on tombe sur une formule pour \(\Big(\frac{\pi}{2}\Big)^2\):
$$ \Big(\frac{\pi}{2}\Big)^2 = \frac{1}{3} + \frac{8}{45} + \frac{4}{35}+ \frac{128}{1575} + \ldots = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{2^{2n+1}(n!)^2}{(2n+2)!}$$
