Voici un problème dont on voit des solutions dans une publication de 1712, Katsuyō Sampō ou «Règles arithmétiques», venant de Ōtaka Yoshimasa, élève de Araki Sonyei, élève de Seki Kowa: déterminer les sommes des \(n\) premiers nombres naturels élevés à la puissance \(k\), avec \(k \in \mathbb{N}\).  Ces sommes, que nous désignerons pas \(S_n^k\), étaient alors appelées hōda. 

$$ S_n^k := 1 + 2^k + 3^k + \ldots + n^k = \sum_{i=1}^{n} i^k  $$

Pour \(k=0\), on trouve trivialement \(S_n^0=n\). Pour \(k=1\), on peut facilement découvrir que \(S_n^1=\frac{n(n+1)}{2}\).  Comment trouver une formule générale pour \(S_n^k\), pour \(k>1\)? Pour chaque \(k\), nous aurons besoin d'avoir déjà trouvé les \(S_n^m\), pour des valeurs de \(m\) allant de \(0\) à \(k-1\).  Prenons les équations, pour des valeurs entières de \(p\) allant de \(0\) à \(n\), de la forme

$$ (p+1)^{k+1} = p^{k+1} + (k+1) p^k + \, ... \, + (k+1) p + 1 =  \sum_{j=0}^{k+1}\binom{k+1}{j} p^j $$

et faisons-en la somme en regroupant les termes de même exposant pour en faire des sommes. On se retrouve alors avec l'équation en termes de  \(S_n^m\), pour des valeurs de \(m\) allant de \(0\) à \(k+1\) :

$$ S_{n+1}^{k+1} = S_{n}^{k+1} + (k+1) S_{n}^k + \, ... \,+ (k+1) S_{n} + n \\ \Big( S_{n+1}^{k+1} - S_{n}^{k+1}\Big) = (k+1) S_{n}^k + \, ... \,+ (k+1) S_{n} + n \\ (n+1)^{k+1} = (k+1) S_{n}^k + \, ... \,+ (k+1) S_{n} + n $$

et on obtient enfin une formule pour \(S_n^k\) en termes de \(S_n^m\) avec \(\, 0 \le m \le k-1 \) :

$$ S_{n}^k = \frac{ (n+1)^{k+1} - \sum_{j=0}^{k-1} \binom{k+1}{j} S_{n}^j}{k+1} $$

On peut donc trouver successivement les \(S_n^k\) de cette façon en partant avec \(S_n^0=n\) et le notons que le degré \(\deg S_n^0=1\) . Supposons que le degré de \(S_n^j \) soit \(j+1\) pour tous les \(j\) allant de \(0\) à \(k-1\), alors le terme de degré \(k+1\) de \(S_n^k\), selon notre nouvelle formule, doit être \(\frac{n^{k+1}}{k+1}\) et il s'agit du terme de degré maximal:

$$ \Rightarrow S_{n}^k = \frac{n^{k+1}}{k+1} + \sum_{j=0}^{k} c_j n^j \hspace{6mm} \text{(où les } c_j = \text{ des constantes)} $$

Ce qui est confirmé par les valeurs de \(S_n^k\) trouvées pour les petites valeurs de \(k\):

$$ S_n^1 =  \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}  \\ S_n^2 =  \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2}+\frac{n}{6} \\ S_n^3 =  \frac{n^4}{4}+ \frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{4} = (S_n^1)^2  \\ S_n^4 =  \frac{n^5}{5}+ \frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30} \\ S_n^5 =  \frac{n^6}{6}+ \frac{n^5}{2}+\frac{5n^4}{12}-\frac{n}{12} $$

Il s'en suit qu'en calculant l'intégrale de \(x^k \), entre \(0\) et \(x_0\) on arrive à

$$ \int_0^{x_0} x^k \, dx = \lim_{n \to \infty}\Bigg\{\Big(\frac{x_0}{n}\Big)^{k+1}\Bigg(\frac{n^{k+1}}{k+1} + \sum_{j=0}^{k} c_j n^j \Bigg)\Bigg\}\\ \int_0^{x_0} x^k \, dx = \lim_{n \to \infty} \Big( \frac{x_o^{k+1}}{k+1} + x_0^{k+1} \sum_{j=0}^{k} \frac{c_j }{ n^{j-k-1}} \Big) \\ \int_0^{x_0} x^k \, dx = \frac{x_0^{k+1}}{k+1} + 0 $$

\(\Rightarrow\) Retour au enri

\(\Rightarrow\) Retour à l'intégration des polynômes 

\(\Rightarrow\) Développements en séries entières