Cercle et ellipse tangents dans un cercle circonscrit

Cette figure, une ellipse et un cercle tangents, circonscrits dans un cercle de diamètre égal au grand axe de l'ellipse, se retrouve dans plusieurs problèmes tirés des sangaku.  Le résultat permettant sa construction découle des théorèmes sur les ellipses élaborés dans les wasan. Ces dernières s'intéressaient aussi aux équations diophantiennes.

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Problème

«Soit \(E\) une ellipse de demi-axes \(a\) et \(b\), inscrite dans un cercle \(C\) de rayon \(a\).  Soit \(s\), le rayon du cercle \(S\), qu'on inscrit à l'extérieur à \(E\) et à l'intérieur de \(C\), tel qu'il touche \(E\) au point \(T\). Soit enfin \(r\), le rayon du cercle \(R\), inscrit dans \(E\), dont un des point de tangence avec \(E\) est \(T\).

Alors, quelles sont les valeurs de \(a\)\(b\)\(r\) e\(s\) qui minimisent la somme \(\Sigma=a+b+r+s\), pour  \(a\)\(b\)\(r\) e\(s\) tous des nombres entiers tels que \(b\gt r\)?»

Autres problèmes (non résolus) 

«Considérons la paire des cercles qui touchent l'ellipse en le même point, pour lesquels on demande ci-haut des rayons à valeurs entières. Pour quels valeurs de \(a,b\), les demi-axes de l'ellipse, chacun de ces cercles est-il tangent à son image par réflexion par rapport au petit axe de l'ellipse?»

«Considérons une chaîne de contact de trois cercles inscrits dans l'ellipse et considérons les points de contact de ces trois cercles avec l'ellipse qui sont tous à droite ou tous à gauche. Alors, il existe trois cercles qui sont tangents l'ellipse en ces points et qui sont aussi tangents au cercle circonscrit (voir la figure sans symétrie). Pour quelles valeurs de \(a,b\) ces trois derniers cercles forment-ils une chaîne de contact?»

Solution au problème de somme minimale d'entiers

Nous devons trouver une équation qui réunit les quantités \(a,b,r\) et \(s\) et il suffira ensuite de regarder les quadruplets de nombres entiers, pas trop grands, qui satisfont l'équation.

Nous avons, du théorème sur le cercle tangent à l'ellipse en un point, une expression pour la distance \(d\) entre le centre du cercle \(S\) et le centre de l'ellipse \(E\):

$$d=\sqrt{\frac{2b^4s-a^2r^3+(a^2+b^2+s^2)b^2\,r}{b^2\,r}}$$

Nous avons, d'autre part, que \(d=a-s\), puisque le cercle \(S\) est tangent au cercle \(C\) de rayon \(a\) et de même centre que l'ellipse. Il s'en suit que

$$(b^2\,r)\,(a-s)^2=2b^4s-a^2r^3+(a^2+b^2+s^2)\,b^2\,r$$

$$b^2\,r\,a^2-2b^2\,r\,a\,s+b^2\,r\,s^2=2b^4s-a^2r^3+b^2\,r\,a^2+b^4\,r+b^2\,r\,s^2$$

$$-2b^2\,r\,a\,s=2b^4s-a^2r^3+b^4\,r$$

$$r\,(a^2r^2-b^4)=(2b^2)\,s(a\,r+b^2)$$

$$r\,(a\,r-b^2)=s\,(2b^2)$$

$$(r^2)\,(a)=(2s+r)\,(b^2)$$

Voilà l'équation diophantienne cherchée. Trouvons maintenant la «plus petite» solution.  Fixons \(r\) et \(s\)   parmi les premiers entiers \(\{1,2,3\}\) et prenons ensuite, pour \(b\), le plus petit entier plus grand que \(r\) qui satisfasse l'équation: on doit toujours avoir les inégalités \(a\gt s+b\gt b\gt r\). Alors on trouve pour comme solutions \((a,b,r,s)\) les quadruplets suivants:

$$(12,2,1,1),(20,2,1,2),(9,3,2,1)$$

$$(18,8,2,2),(28,2,1,3),(20,9,3,1,)$$

$$(18,3,2,3),(28,6,3,2),(16,4,3,3)$$

Le meilleur candidat pour \((a,b,r,s)\) est alors \((9,3,2,1)\), avec \(\Sigma=15\). Pour des valeurs de \(r\) et \(s\) plus grandes, on tombe sur des valeurs pour \(a\) qui semblent toutes excéder \(15\). La première valeur de \(a\lt 20\) qu'on trouve ensuite est dans le quadruplet \((18,9,6,1)\), avec \(\Sigma=34\).  On peut facilement présumer que la la solution minimisant \(\Sigma=a+b+r+s\) est celle illustrée ci-contre, soit

$$(a,b,r,s)=(9,3,2,1)$$

$$\blacksquare$$

Solutions générales pour \(a\) et \(b\) fixés

Soit le couple \((r,s)\) donné, faisant partie d'une solution de l'équation \((a)\,(r^2)=(b^2)\,(2\,s+r)\), alors le ratio \(\frac{b^2}{a}=\frac{r^2}{2\,s+r}=k\) devient fixé et donc \((r,s)\) est une solution dans toutes les ellipses de demi-axes \(a,b\), tels que \(a\,k=b^2\). Pour chaque telle ellipse de cette famille (avec le même \(k=\frac{b^2}{a}=\) rayon du cercle de courbure de l'ellipse), on a la solution triviale \((r=b, s=\frac{a-b}{2})\), lorsque \(a\) et \(b\) sont de même parité, et on aussi toutes les solutions triviales \((r,s)\) pour les ellipses de la même famille qui sont de plus petites dimensions. Par exemple, on peut déterminer ainsi que, pour \(a=75\) et \(b=5\) et pour les ellipses plus grandes avec le même cercle de courbure de rayon \(k=\frac{1}{3}\), on a comme solutions les couples \((r,s)\) suivants:

$$(1,1),(2,5),(3,12),(4,22),(5,35)$$

On retrouve ces valeurs en calculant \(s\) pour les différentes valeurs possibles de \(r\), de \(1\) à \(b=5\) et il n'y aucune autre possibilité. De façon plus générale, on peut affirmer que les solutions \((r,s)\) pour une ellipse de demi-axes \(a,b\) sont les solutions triviales pour les ellipses avec le même cercle de courbure, mais avec un petit axe plus court. Soit \(k\), le rayon de courbure \(=\frac{b^2}{a}\), nous avons donc, tout au plus, \(b\) solutions, qui sont de la forme:

$$(r,s)=(r,\frac{\frac{r^2}{k}-r}{2})\,\,\text{ pour }r\in\{1,2,...b\}$$

$$\blacksquare$$

Construction avec Geogebra

Pour construire les cercles de rayos \(r,s\), on fixe d'abord le cercle (de rayon \(=a\)), puis on construit une ellipse à partir du point \(T\) déterminé par l'utilisateur, en faisant passer une conique par 5 points (on prend les images de \(T\) par réflexion par rapport aux axes de symétrie de la figure).  On localise ensuite le centre du cercle \(R\) inscrit dans l'ellipse avec la perpendiculaire à l'ellipse en \(T\).  Ensuite, grâce à la relation trouvée entre \(a,b,r\) et \(s\), on a 

$$s=\frac{a\,r^2-r\,b^2}{2b^2}$$

et on peut trouver le centre du cercle \(S\), en prenant sur la perpendiculaire à l'ellipse en \(T\) un point extérieur à l'ellipse, qui est à une distance \(s\) de \(T\).

Pour construire les cercles inscrits dans l'ellipse et qui forment une chaîne de contact, ou un collier, avec le cercle de rayon \(r\), on peut se servir de la projection du cylindre et de sphères inscrites, dont les intersections avec un plan donnent notre collier de cercles inscrits. Je vous propose de regarder cette construction avec Geogebra:

\(\Rightarrow\) Collier de cercles inscrits dans une ellipse

Remarque

On pourrait se demander s'il est également possible de construire dans Geogebra les cercles tangents à l'extérieur de l'ellipse de demi-axes \(a,b\) et à l'intérieur du cercle circonscrit de rayon \(a\) en se servant de la projection d'un modèle tridimensionnel.  Le cercle de rayon \(a\) et l'ellipse de demi-axes \(a,b\) résulteraient alors de la coupe d'une sphère de rayon \(a\) et d'un cylindre de rayon \(b\) passant à travers de façon symétrique. La représentation des sphères inscrites entre la sphère et le cylindre exigerait-t-elle alors de lourds calculs?

$$\blacksquare$$

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