Théorème
Soit une ellipse de demi-axes \(a\) et \(b\) et de centre \(O\). On y inscrit un cercle de rayon \(c\) et de centre \(C\), qui touche l'ellipse en deux points. À l'un de ces points, \(T\), un autre cercle, de rayon \(r\) et de centre \(R\), extérieur à l'ellipse, est également tangent à l'ellipse. Soit \(k\), la longueur du segment \(\overline{OE}\), la distance séparant \(R\) du prolongement du petit axe de l'ellipse et \(m\), la longueur du segment \(\overline{RO}\). Alors
$$k=\frac{(c\,a^2+r\,b^2)\sqrt{b^2-c^2}}{b\,c\sqrt{a^2-b^2}}\hspace{1cm}\text{et}\hspace{1cm}m=\sqrt{\frac{2b^4r-a^2c^3+(a^2+b^2+r^2)b^2\,c}{b^2\,c}}$$
Démonstration
Ce théorème est un corollaire du théorème sur le cercle inscrit dans une ellipse, lequel s'appuie sur cette perspective tridimensionnelle, où le cylindre et la sphère sont de rayon \(=b\):
Grâce à ce théorème, nous avons découvert les relations suivantes:
$$\overline{OC}=\frac{\sqrt{(a^2-b^2)(b^2-c^2)}}{b}\hspace{1cm}\text{et}\hspace{1cm}\overline{CD}=b\sqrt{\frac{b^2-c^2}{a^2-b^2}}$$
d'où l'on peut calculer, par le théorème de Pythagore, la hauteur du point \(T\):
$$\overline{TD}=\sqrt{c^2-\overline{CD}^2}=\sqrt{\frac{a^2\,r^2-b^4}{a^2-b^2}}$$
Par les angles communs, les triangles \(\triangle{CDT}\) et \(\triangle{CER}\) sont semblables. On en tire que
$$\frac{\overline{CE}}{b}\sqrt{\frac{a^2-b^2}{b^2-c^2}}=\frac{\overline{CE}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{CR}}{\overline{CT}}=\frac{c+r}{r}$$
$$\overline{CE}=\frac{b(c+r)}{c}\sqrt{\frac{b^2-c^2}{a^2-b^2}}$$
Puisque \(\overline{OE}=\overline{CE}+\overline{OC}=\), on a
$$k=\overline{OE}=\frac{b(c+r)}{c}\sqrt{\frac{b^2-c^2}{a^2-b^2}}+\frac{\sqrt{(a^2-b^2)(b^2-c^2)}}{b}$$
$$k=\frac{(c\,a^2+r\,b^2)\sqrt{b^2-c^2}}{b\,c\sqrt{a^2-b^2}}$$
Pour trouver \(m\), on doit d'abord trouver la hauteur du point \(R\). Encore par les mêmes triangles semblables,
$$\frac{\overline{RE}}{\overline{TD}}=\frac{\overline{CR}}{\overline{CT}}=\frac{c+r}{r}$$
$$\overline{RE}=\frac{c+r}{r}\overline{TD}=\frac{c+r}{r}\sqrt{\frac{a^2\,r^2-b^4}{a^2-b^2}} $$
Et, enfin, par le théorème de Pythagore,
$$\overline{RO}=\sqrt{\overline{RE}^2+\overline{OE}^2}$$
$$m=\sqrt{(\frac{c+r}{r})^2\,\frac{a^2\,r^2-b^4}{a^2-b^2}+k^2}$$
$$m=\sqrt{\frac{2b^4r-a^2c^3+(a^2+b^2+r^2) b^2\,c }{b^2\,c}}$$
$$\blacksquare$$
Remarque
Nous pouvons utiliser le même raisonnement avec un cercle inscrit dans l'ellipse au point \(T\): c'est-à-dire que \(r\) prendrait simplement une valeur négative dans nos calculs et on aurait \(c+r<c\) au lieu de \(c+r>c\).
