Construction avec Geogebra

Une ellipse de demi-axes \(a,b\) résulte de la coupe d'un cylindre de rayon \(b\) par un plan. Tout cercle inscrit dans l'ellipse résulte de la coupe d'une sphère inscrite dans le cylindre, soit une sphère de rayon \(b\).

Représentons-nous ce cylindre de façon telle qu'on voie le plan de coupe comme une droite parallèle au grand axe de l'ellipse sur la figure.  Alors le cylindre apparaît comme deux droites parallèles, en bleu, séparées par une distance \(2b\), et l'ellipse comme un segment de longueur \(2a\), en orangé.  On peut placer la représentation tridimensionnelle vis-à-vis la représentation bidimensionnelle, de façon telle que le milieu de ce segment soit à la même hauteur que le centre de l'ellipse.  

Étape 1

Notre premier cercle inscrit dans l'ellipse, en vert, s'obtient d'une façon arbitraire (théorème sur le cercle inscrit dans l'ellipse), il a un centre \(C\).  Nous faisons sa projection sur la droite représentant la directrice du cylindre et on obtient le centre \(C'\) d'un cercle de rayon \(b\), représentant la sphère inscrite, dont la coupe donne le cercle initial.

Étape 2

Dans la représentation tridimensionnelle, l'intersection du cercle de centre \(C'\) avec le segment de longueur \(2a\) donne deux points, disons \(T_1,T_2\), qui correspondent, dans la représentation bidimensionnelle, aux points de contact du cercle initial avec ses voisins dans le collier. Il s'en suit que \(T_1,T_2\) sont aussi l'intersection du segment de longueur \(2a\) avec les cercles, en bleu, représentant les sphères inscrites dans le cylindre, dont la coupe par le plan donne les cercles voisins dans le collier. La situation de deux sphères inscrites dans un cylindre fait en sorte qu'on peut retrouver les centres \(Q_1, Q_2\) de ces cercles bleus en prenant l'image par réflexion du point \(C'\) par rapport aux perpendiculaires à la directrice du cylindre passant par \(T_1,T_2\).  Plaçons des droites perpendiculaire au segment de longueur \(a\) et passant par \(Q_1,Q_2\).  En prenant l'intersection de ces droites avec le grand axe de l'ellipse, on retrouve les centres \(Q_1',Q_2'\) des cercles voisins dans le collier.

Étapes 1 et 2 réitéreés

En continuant le processus avec \(Q_1',Q_2'\) à la place de \(C\), puis en réitérant tout en se rapprochant des sommets du grand axe, on peut reconstituer le collier de cercles maximal pour une ellipse de demi-axes \(a,b\) donnés. Il y a en effet un nombre fini de sphères qu'on peut inscrire dans un cylindre, de façon telle que l'intersection de deux sphères voisines soit un cercle tangent au plan de coupe et telle que l'intersection de chaque sphère avec le plan de coupe soit un cercle tangent au cylindre. Sur la figure, un cercle bleu devient rouge lorsque l'intersection de la sphère qu'il représente avec le plan de coupe ne touche plus le cylindre (ou lorsque le cercle de contact entre la sphère et le cylindre ne croise plus le plan de coupe).

$$\blacksquare$$

\(\Rightarrow\) Le collier de dix cercles dans une ellipse

\(\Rightarrow\) Retour au problème inspiré des sangaku

\(\Rightarrow\) Retour à la théorie des ellipses