Problème 2

«Deux cercles de rayons \(R\) et \(S\) sont mutuellement tangents et sont aussi tangents à un troisième cercle de rayon \(T\), qui partage une même tangente avec les deux autres cercles.  Quel est, en termes de \(R\) et \(S\), la valeur de \(T\) ?»

Célèbre problème gravé dur un sangaku de la préfecture de Gumma, datant de 1824.

Solution

On applique le résultat du problème précédent aux trois paires de cercles de ce problème. On obtient la relation

$$\sqrt{RT}+\sqrt{ST}=\sqrt{RS}$$

En divisant par \(\sqrt{RST}\), on trouve

$$\frac{1}{\sqrt{S}}+\frac{1}{\sqrt{R}}=\frac{1}{\sqrt{T}}$$

$$\blacksquare$$

\(\Rightarrow\) Problème suivant\(\hspace{16mm}\Rightarrow\) Problème précédent

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