«Deux cercles de rayons \(R\) et \(S\) sont mutuellement tangents et sont aussi tangents à un troisième cercle de rayon \(T\).  Ce dernier est tangent à deux droites parallèles, dont une est tangente au cercle de rayon \(R\) et l'autre est tangente  au cercle de rayon \(S\).  Quel est, en termes de \(R\) et \(S\), la valeur de \(T\) ?»

Le problème original demandait de démontrer le résultat. Il est proposé sur un sangaku datant de 1881, dans la préfecture de Ibaraki, mais il fut déjà discuté dans des publications antérieures.

Solution

Il faut, essentiellement, utiliser le résultat du problème I, pour pouvoir exprimer en fonction de \(R\), \(S\) et \(T\) la longueur des côtés du triangle rectangle en rouge. On peut ensuite appliquer le théorème de Pythagore à ce triangle et  résoudre l'équation en \(T\) qui en résulte. L'indice, sur la figure, montre les segments à considérer. Alors, par Pythagore, on a

$$(2T-(S+R))^2+(2\sqrt{TS}-2\sqrt{TR})^2=(S+R)^2$$

On peut faire plusieurs simplifications, après lesquelles il ne reste plus que

$$4T^2=8T\sqrt{RS}\,\Leftrightarrow\,T=2\sqrt{RS}$$

Dans les wasan, on écrirait plutôt \(T^2=4RS\).

$$\blacksquare$$

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