Problème
«Soit une sphère de rayon \(r\) et deux plans parallèles coupant la sphère, séparés par une distance \(d\). Quel est la surface de la sphère comprise entre les deux plans, en termes de \(r\) et de \(d\)?»
C'est le 22e problème du chapitre 5 de Sacred Geometry, proposé par Hino Hirotomo, provenant d’un sangaku suspendu par Takeuchi Syukei en 1844 au sanctuaire de Atsuta, dans la ville de Nagoya. Le sangaku ayant été perdu, il a été reconstitué par le sanctuaire selon des notes anonymes, Sandai Gakumen Sya (Récit de sangaku).
Solution de Uchida Kyūmei (1844)
Tirée de Sacred Geometry, cette solution provient de Kyūseki Tsu-ko (Cours général de calcul).
Dans ce cas d'intégration, on doit considérer les infimes surfaces coniques \(\Delta s\), en forme d'anneaux, résultant de la découpe de la surface sphérique selon des plans parallèles aux deux plans délimitant le ruban dont on veut calculer l'aire. Ensuite on fait la somme des ses éléments de surface sur toute la largeur séparant les deux plans et on a l'aire du ruban.
Soit \(P\) le plan parallèle aux deux plans et passant par le centre de la sphère. Lorsque on est à une distance \(h\) du plan \(P\), l'élément de surface conique \(\Delta s=2\pi x \Delta d\), où \(\Delta d\) peut être vu comme le segment générateur de l'infime surface conique \(\Delta s\). Nous avons des triangles semblables, comme suggéré dans la figure ci-haut, du fait que le plan tangent à la sphère en un point (dans le lequel se trouve le segment \(\Delta d\)) est perpendiculaire au segment joignant ce point à son centre. Il s'en suit que
$$\frac{\Delta d}{\Delta h}=\frac{r}{x}\,\Rightarrow\,\Delta s=2\pi r \Delta h$$
On fait la somme de nos infimes surfaces, en faisant varier la grandeur \(h\), donc il faut intégrer selon la variable \(h\):
$$S_h=\int\Delta s=\int2\pi r\Delta h=2\pi r\int\Delta h=2\pi r\,h$$
$$S_h=2\pi r\,h$$
\(S_h\) donne ici l'aire de la surface sphérique entre le plan \(P\) et la hauteur \(h\), où \(h,S\gt 0\) si on est d'un bord de \(P\) et \(h,S\lt 0\) si on est de l'autre bord. Soit \(h_0\) la hauteur d'un des plans délimitant le ruban par rapport au plan \(P\) et \(h_0+H\), la hauteur correspondante de l'autre plan délimiteur. Alors, pour trouver l'aire du ruban on doit prendre la différence des intégrales selon ses deux hauteurs:
$$S=S_{h_0+H}-S_{h_0}=2\pi r\, (h_0+H) -2\pi r\,h_0= 2\pi r\,H$$
$$S(r,H)=2\pi r\,H$$
Donc la surface d'un ruban sphérique délimité par deux plans parallèles séparés par une distance donnée, auront toujours la même aire, égale au produit de cette distance par la circonférence équatoriale de la sphère.
$$\blacksquare$$
Remarque
Nous avons ici fait le calcul de l'intégral d'une fonction constante de \(0\) à \(h\), ce qui n'exige pas de profondes connaissances en analyse. La difficulté est dans le concept même d'intégration et dans le bon choix des éléments infinitésimaux de la quantité à calculer.
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