I. Les objectifs
La motivation initiale derrière ce projet est de transmettre l'intérêt que j'ai développé pour les wasan et les sangaku. Grâce à l'aspect historique, je constate comment ces mathématiques ont évolué et comment les mathématiques, en général, peuvent évoluer parfois vers les mêmes objets, dans des mondes parallèles, mais où on se pose les mêmes problèmes. Grâce aux aspects esthétiques et récréatifs des énigmes mathématiques et des énoncés qu'elles contiennent, je veux faire de ce site un lieu de divertissement et d'apprentissage. Les vertus des sangaku devraient bien les inscrire dans un projet à valeur pédagogique.
II. Les outils
D'autre part, l'idée de faire un site web et aussi intéressante: c'est un moyen de communication interactif, accessible et qui permet d'utiliser des ressources logicielles opportunes dans l'expression mathématique. C'est dans cette perspective que le professeur-consultant Frédéric Gourdeau m'a suggéré d'utiliser deux outils qu'on obtient gratuitement sur internet, faciles d'utilisation et tout à fait à propos pour faire traiter de géométrie et faire des manipulations algébriques. Je viens justement de commencer à les apprivoiser lors du cours de Mathématiques de l'enseignement collégial, donné par Jérôme Soucy, à l'automne 2011:
Geogebra: logiciel de «géométrie dynamique» permet de créer des contructions géométriques imlpantables dans un page web sous formes d'appliquettes JAVA. Dans ces contructions interactives, certains objets sont fixes, d'autres variables, certains dépendent directement de l'utilisateur et d'autres dépendent d'autres objets.
MathJax: c'est une librairie Javascript créée par l'AMS, nous permettant de générer de l'écriture mathématique en dans une page web à l'aide du code\(\LaTeX\).
III. Le projet
1. Une petite mise en contexte va de soi: la période d'Edo (1603-1867) a été marquante dans l'évolution culturelle du Japon, qui a alors renforcé son originalité.
5. Le travail consiste principalement à sélectionner des problèmes tirés des sangaku pour ensuite les illustrer et les expliquer en utilisant Geogebra et MathJax. Pour le plaisir graphique et dynamique, il y aura aussi des problèmes non traités mais qui seront illustrés avec Geogebra. Le niveau de difficulté des problèmes et des concepts mathématiques n'est pas trop élevé pour les étudiants au secondaire ou du collégial. Il est intéressant de noter qu'avec la connaissance de peu de lois mathématiques, on puisse accéder à un grand espace de jeu pour résoudre ou créer des énigmes. C'est d'ailleurs un professeur au secondaire, Hidetoshi Fukagawa, qui a ravivé l'intérêt pour les sangaku, cherchant initialement un moyen pour attirer ses étudiants vers les mathématiques. Je présente aussi un problème de mon cru, qui s'inscrit assez bien dans le contexte que je ne serai pas étonné qu'il fasse déjà partie du lot de problèmes hérités des wasan. J'espère alors présenter, avec ce projet, un site divertissant et instructif.
2. à 4. Aussi, pour expliquer les raisonnements des solutions aux problèmes, j'explique quelques principes de base de trois branches des wasan que j'ai appelées: 2. Calcul différentiel, 3. Calcul intégral et 4. Théorie des ellipses. Les deux premières branches sont intéressantes car elles correspondent à ce qui se découvrait à l'époque en Europe et à ce qui est appelé, dans les wasan, le «principe du cercle» ou enri. J'ai fait une branche avec la théorie des ellipses, car ces dernières occupent une place importante, à côté de celles des cercles et des polygones réguliers, dans les problèmes de tangence et donnent lieu à des résultats et des raisonnements intéressants.
6. Je me suis fortement inspiré de quelques ouvrages, principalement de Hidetoshi Fukagawa, et ils seront brièvement décrits dans la bibliographie. Je me suis permis aussi de faire des liens vers Wikipédia, non pas pour en faire une référence, mais pour inviter les internautes à y lire des compléments d'information et voire y contribuer. J'ai moi-même, il y a quelques années, créé l'article Wikipédia sur les sangaku. J'ai remarqué que c'est un sujet qui a, bien sûr, gagné des adeptes, mais qui n'est pas encore très documenté sur internet.
IV. Déroulement du projet
La présentation historique est pertinente, mais ne m'a pas demandé beaucoup de nouveaux efforts de recherche. Je vous propose de suivre ma démarche dans le cœur du projet:
\(\Rightarrow\) 5. Le choix des problèmes et de leur solutions
\(\Rightarrow\) 2. à 4. Les principes théoriques de bases
V. Conclusion
L'exploration permise par Geogebra et la simplicité d'utilisation de MathJax font de ce projet un travail fort stimulant, d'autant plus qu'il aborde une gamme de problèmes mathématiques très féconde et diversifiée. J'aimerais faire le point de mon expérience avec ces deux outils, qui sont au cœur du site web, puis sur les mathématiques explorées dans ce projet.
Geogebra
C'est une plateforme simple et efficace. Elle permet la création spontanée d'objets géométriques avec quelques points, permet de créer des liens de dépendance entre les objets via des formules mathématiques et logiques. On peut rapidement tracer des parallèles, des intersections, des point milieux, etc. Il y a aussi dans son arsenal de fonctions les transformations géométriques usuelles, dont l'inversion. Il très pertinent de pouvoir contrôler des variables booléennes par des cases à cocher: cela permet un affichage alternatif avec des solutions ou des constructions. Le défaut de cet outil est qu'il n'a pas la possibilité d'être fixé sur la feuille de travail, comme tous les autres objets.
Le fait que tous ces objets soient déjà programmés nous donne une plus grande spontanéité dans l'élaboration de constructions et aussi de créativité (voir 6 cercles dans un carré). Il est intéressant de noter que plusieurs problèmes peuvent être ainsi construits sans être résolus (voir 5 cercles et un carré). Aussi, construire deux cercles inscrits dans une ellipse et tangents un à l'autre est facile avec Geogebra, lorsqu'on utilise la projection du cylindre et de ses deux sphères inscrites coupés par un plan, alors que l'expression algébrique prend un peu plus de temps à trouver, Hidetoshi la donne, sans preuve, dans Japanese Temple Geometry: soient \(a,b\) les demi-axes de l'ellipse, \(R_1\) le rayon du premier cercle et \(R_2\) le rayon du deuxième, alors
$$R_2=\frac{R_1}{a^2}(a^2-b^2)\pm\frac{2b}{a^2}\sqrt{(a^2-b^2)(b^2-R_1^2)}.$$
Dans le contexte des wasan, j'ai particulièrement utilisé les paraboles et des ellipses pour localiser des cercles tangents. Les cercles aussi sont spontanément utilisé pour localiser un point à une distance donnée.
L'inversion est un outil puissant qui demanderait beaucoup de patience sans l'aide d'un logiciel.
L'inconvénient de Geogebra est la lenteur, voire la lourdeur de la machine JAVA qui permet son intégration dans les pages web. Il y a sans doute d'autre manières d'intégrer du Geoebra, que je n'ai pas explorées. Aussi, le JAVA est parfois instable et n'est pas interpréter pareillement par tous les navigateurs. Une des difficultés de la contruction géométrique en utilisant les intersections, c'est que Geogebra fait un choix arbitraire entre deux intersections communes à deux courbes lorsque celles-ci sont modifiées (voir 6 cercles). Il faut donc écrire une logique pour toujours avoir le même point avec la même étiquette.
Je voudrais aussi souligner que je n'ai pas exploité tout le potentiel de ce logiciel et que, dans l'ensemble, il me semble très adapté à l'apprentissage des mathématiques et aux mathématiques récréatives. Je n'ai pas utiliser, notamment, les macros, le tableur et les scripts, qui me semblent tous pertinents.
MathJax
MathJax est une librairie Javascript qui transforme le code \(\LaTeX\) en formules mathématiques. Cela entraîne une petite attente pour la conversion lorsqu'on demande la page web. Ce genre d'outil est un must pour les mathématiciens qui écrivent des sites web. Très simple, d'utilisation, l'utilisateur se doit d'employer les codes \ ( et \ ) (sans espacement) pour encadrer son code, lorsqu'il est intégré au texte, ou bien d'employer les $ $ et $ $ (toujours sans espacement) pour encadrer le code qui apparaît sous forme de paragraphe.
Un aspect du langage \(\LaTeX\) ne m'a pas été accessible (peut-être est-il activé?), c'est celui de l'alignement des équations sur les symboles d'égalité. Le principal inconvénient de l'utilisation de MathJax lors de ce projet, fut que l'éditeur de texte dans TYPO3 n'est pas totalement adapté à l'inclusion de codes transformés en Javacript. L'idéal serait d'avoir un éditeur de texte à même un système de gestion de contenu de site web (comme TYPO3) qui soit adapté à ce type de contenu. J'ai dû travailler en HTML pour l'écriture de certaines équations pour éviter que l'éditeur de texte ne génère des codes qui rentrent en concurrence avec le code reconnu par MathJax.
Les wasan et les sangaku
Ce qui manque à ce projet, ou ce qui me laisse sur ma faim, ce sont les cas de cercles tangents, qui nous permette de faire des liens avec les mathématiques occidentales et l'inversion: les cercles de Soddy, le théorème de Descartes, le théorème de Casey. Même aujourd'hui encore, des théories plus avancées concernent ces même objets: je pense à la version complexe du théorème de Descartes et aux théories relatives au disque des entiers, soit l'empilement de cercles dans le problème de Hotta. Les cercles sont bien sûr beaucoup plus centraux que les ellipses, mais les ellipses en sont un prolongement intéressant dans le contexte des sangaku. Aussi, j'aurais aimé montrer d'autres résultats dans d'autres cas de tangence avec des ellipses.
Le sujet ne pouvais pas être mieux servi que par les outils qui m'ont été proposés. J'estime avoir parcouru une frange historique, esthétique et, enfin, pédagogique des mathématiques avec ce projet. J'espère que ce site éveillera quelques curiosité ou créativité mathématiques!
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Travail remis le 20 avril 2012, à Frédéric Gourdeau.
