Objectifs
Je voulais au début présenter un florilège de dix problèmes avec leurs solutions, couvrant bien la «géométrie du temple», puis au fil du projet, je me suis davantage intéressé aux ellipses, aux dépens de problèmes avec des équations diophantiennes ou du calcul d'aires et de volumes. Les constructions tridimensionnelle et les problèmes de thérie des nombres sont d'ailleurs moins faciles à illustrer avec Geogebra. Les douze problèmes sont regroupés selon quatre objets: le cercle, le carré, l'ellipse et la sphère.
L'intérêt porté vers certains problèmes est à la fois esthétique et pédagogique. Les sangaku ont été conçus un peu dans ce sens, je présume, essayant de contenir un maximum de structure ou de principes avec un minimum d'objets géométriques et d'écriture algébrique. Dans le problème XI, le résultat (\(d=a+b\)) et la construction avec un cercle un ellipse et deux droites parallèle, sont un bel exemple de cette joliesse, qui doit, selon moi, ajouter à la valeur pédagogique des problèmes.
Problèmes tirés des sangaku avec solutions
Cercles
I. II. III. Les trois premiers problèmes sont les classiques qu'on propose aux débutants. Il servent de théorèmes de base dans l'étude de la plupart des problèmes.
IV. Le problème d'Aotsuka est intéressant car un peu compliqué, quoique très simple. Il demande de trouver l'expression d'un rapport de proportionnalité proche de 1. C'est un problème à plusieurs étapes. Tout ce dont on a besoin c'est le théorème de Pythagore et savoir résoudre les équations du 2e degré. Le problème peut sembler compliqué, tout comme sa solution contient trois racines carrées, mais il dévoile, en revanche, un rapport «harmonieux» entre deux des cercles de la construction. Ce problème m'a permis de montrer, en parallèle avec les étapes de résolution algébrique, les étapes de construction avec des paraboles, des droites et des cercles dans Geogebra.
V. Le problème de Hotta est un incontournable. D'une beauté et d'une simplicité remarquable, la figure du problème ne contient que des cercles tangents extérieurement sauf un qui circonscrit la figure. Le problème met au jour un objet mathématique complexe et riche de propriétés étonnantes, le disque des entiers, où tous les cercles ont une courbure entière (un rayon égal à l'inverse d'un entier). Aussi, je propose une solution plus traditionnelle à l'aide du théorème de Descartes et une autre à l'aide de la technique de l'inversion, qui transforme la figure en une figure plus simple.
Carrés
VI. VII. Les carrés de Takeda: joli, simple et non trivial. Il faut connaître la loi des cosinus et comprendre à quel triangle il faut l'appliquer. Les carrés de Ikeda sont d'autant plus intéressant qu'ils utilisent la même construction que les carrés de Takeda, mais demandent une toute autre réflexion pour être résolus. La solution est assez jolie: une simple construction géométrique suffit à démontrer le résultat.
VIII. L'origami étant un classique japonais de la période d'Edo, ce problème de carré plié est dans doute devenu un classique. Le pliage amène une troisième dimension, visuellement intéressante. Le résultat est simple et étonnant. La solution demande une certaine connaissance des triangles et des cercles inscrits.
Ellipses
IX. Le collier de dix cercles: un autre résultat qui semble impriobable! Ce problème se distingue par la longue manipulation algébrique nécessaire pour aboutir au résultat. Il fait appel au théorème de base sur le cercle inscrit dans l'ellipse et demande de résoudre une équation du 2e degré.
X. Un problème qui marie la théorie des ellipses et optimisation. Je me suis permis ici de créer une solution à la mode d'Edo, aucune solution de l'époque n'ayant été publiée. Le problème demande un calcul différentiel, tel que vu dans mon chapitre 2.
XI. Très beau! Ici, on fait appel à tous les théorèmes expliqués dans le site et on dévoile des égalités remarquables. Un autre incontournable!
Sphère
XII. Problème qui demande de modéliser des éléments infinitésimaux et qui présente un joli résultat découlant des propriétés de la sphère. Le calcul intégral à faire est toutefois très simple, c'est d'intégrer une fonction constante. C'est le seul problème faisant le lien avec le chapitre 3: Calcul intégral.
Autres problèmes
Aussi, inspiré par la «théorie des ellipses» et par les cas de tangence, je propose aussi deux nouveaux problèmes. Le premier, avec six cercles inscrits dans un carré, se questionne sur une figure «parfaite» que j'ai découverte en jouant avec Geogebra et qui cadre bien parmi les problèmes tirés des sangaku.
Le deuxième, pour lequel je fourni une solution, demande de résoudre une équation diophantienne, dont les inconnues sont les demi-axes d'une ellipse et le rayon de cercles tangents. Ce problème me permet, à la fois, d'amener une équation diophantienne dans ce site, comme je désirais initialement, et, de plus, d'utiliser un résultat traité dans mon chapitre 4, Théorie des ellipses, en construisant une figure typique des sangaku.
Quelques autres problèmes ont simplement été illutrés avec Geogebra et ont été placés sur certaines pages du site, là où il n'y avait pas déjà des «appliquettes» Geogebra d'intégrées. Les pages dédiées aux problèmes non résolus sont accessibles dans le menu, en bas des problèmes résolus, listés avec des lettres majuscules. Il est en général plus sympathique de construire avec Geogebra que de résoudre algébriquement. Dans plusieurs figures, cependant, j'ai eu besoin de résultats algébriques.
