Le site présente trois chapitres théoriques. Le but était de bien représenter le panorama mathématique dans lequel baignent les sangaku et ce,de façon abordable pour des lecteurs du cégep ou du secondaire. Les chapitres 2 et 3, sur le calcul différentiel et intégral, ne sont pas très profonds, mais présentent l'approche intuitive que pouvaient avoir les wasan en apprivoisant les techniques d'optimisation et d'intégration. Le chapitre 4, sur les ellipses, exprime davantage la saveur des wasan, en amenant des résultats non triviaux mais accessibles. Plusieurs autres catégories d'objets auraient également mériter mon attention, comme les cercles, en particulier, mais aussi les triangles, les sphères...
2. Calcul différentiel \(\Rightarrow\) problèmes X et D
Insipiré du chapitre The Mysterious Enri, de Sacred Geometry, nous voyons comment, avec les fonctions quadratiques, on peut facilement trouver l'extremum, lorsque la «fonction dérivée» est nulle. On en déduit, non rigoureusement, qu'on peut dériver de façon similaire des polynômes de degré supérieur, afin de résoudre des problèmes d'optimisation. Je reprends l'exemple du livre où l'on présume comment les wasan dérivaient des fonctions compliquées à l'aide des règles de dérivation et en se débarrassant des racines carrées.
3. Calcul intégral \(\Rightarrow\) problème XII
Ce chapitre décrit davantage ce qu'on appelle le enri. Encore ici, je m'inspire de Sacred Geometry, pour parler des bases de l'intégration en deux sections: l'expression en séries entières de fonctions non polynomiales et la règle d'intégration des monômes, nous permettant d'intégrer terme à terme. La première section raconte la démarche de Takebe dans sa conquête de \(\pi\), ce qui a eu pour effet d'introduire la notion de développement en série entière. On voit aussi comment Wada a obtenu d'autres développements pour des fonctions plus usuelles. La deuxième section montre une approche simple pour intégrer les monômes. Je me suis permis d'en faire une page complémentaire pour traiter de la somme des \(n\) premiers entiers élevés à la puissance \(k\).
4. Théorie des ellipses \(\Rightarrow\) problèmes IX, X, XI, B, C et E
C'est dans Japanese Temple Geometry que j'ai déniché des résultat importants dans les problèmes avec ellipses et cercles. J'ai ainsi réarrangé 2 théorèmes et un lemme en 2 théorème et un lemme, le premier théorème ayant pris un résultat au lemme.
Le premier résultat affirme, géométriquement, qu'un cercle, inscrit dans une ellipse en la touchant en deux points, a pour point le plus éloigné du grand axe de l'ellipse, un point situé sur une autre ellipse, passant par le sommet du petit axe de l'ellipse et par ses foyers. C'est la ma version de l'énoncé du théorème, qui s'avère utile dans la construction avec Geogebra. L'intérêt de ce théorème est bien sûr la construction et la résolution de problèmes, mais aussi la façon originale avec laquelle il est démontré. Considérant l'ellipse et le cercle inscrit comme l'intersection avec un plan, d'un cylindre droit et d'une sphère inscrite, on perçoit des triangles semblables, nous permettant de lier la distance entre le centre de l'ellipse et le centre du cercle avec le rayon du cercle et les demi-axes de l'ellipse. On voit aussi, comment retrouver les coordonnées des points d'intersections du cercle avec l'ellipse. Je souligne aussi rôle joué par le cercle de courbure, comme cas limite d'un cercle tangent à l'ellipse en deux points.
Le deuxième théorème est un corollaire au premier. Il considère un cercle tangent à l'ellipse en un seul point. Pour ce faire, on considère le cercle tangent à l'ellipse en deux points, dont ce point. On en déduit une expression pour la distance entre le centre de l'ellipse et le centre de notre cercle d'intérêt.
Le troisième résultat, un lemme, est utilisé dans le joli problème XI. Il donne la longueur d'un segment contraint par les tangences entre une droite, un cercle et une ellipse. C'est une occasion de faire des manipulations algébrique, et d'utiliser Pythagore et les propriétés du cercle. On peut ainsi calculer, sans aucune différentiation, la pente de la tangente à l'ellipse en un point en considérant l'image contracté donnant un cercle.
Je présente en continuité avec ses résultats, trois problèmes tirés des sangaku et un problème inventé, tous avec une solution à la mode d'Edo, soit sans mathématiques trop avancées.
