C'est le 21^e problème de la 5^e section de Sacred Geometry. Proposé par Kobayashi Tadayoshi (1796-1871) en 1824 sur un sangaku suspendu au sanctuaire de Konpira, dans la ville de Komoro.  Kobayashi, étudiant de l’école Takeuchi, a publié en 1836 Sanpō Koren, «Gemmes mathématiques», dans lequel il expose les problèmes de cinq sangaku, datés entre 1824 et 1834, parmi lesquels se trouvent des problèmes plutôt difficiles exigeant le enri, comme celui du calcul de la surface d’un ellipsoïde.

Problème

 «Trois ellipses de grand axe \(a\) et de petit axe \(b\) sont mutuellement tangentes et tangentes à l’intérieur d’un cercle de rayon \(r\).  La situation est symétrique: les petits axes sont tous alignés avec le centre du cercle. Le rayon \(r\) étant fixé, trouvez la valeur de \(a\) en fonction de \(r\), lorsque l’aire des ellipses est maximale.»

Solution à la mode d'Edo

Il n'est pas fourni de solution traditionnelle à ce problème, dans Sacred Geometry. Nous tenterons ici de le résoudre à l'aide du théorème du cercle inscrit dans une ellipse et de la dérivation de fonctions, telle qu'on l'imagine dans les wasan.

Nous fixons une ellipse de demi-axes \(a, b\) et nous devons calculer \(r\) en fonction de \(a\) et \(b\).  La fonction à maximiser est le rapport de aire des trois ellipses sur l'aire du cercle: \(f(a)=\frac{a\,b}{3\,r^2}\).  Pour trouver \(r\), on se l'imagine comme étant le demi-grand axe de l'ellipse  résultant de la compression horizontale du cercle par un facteur de \(\frac{b}{a}\).  Le demi-petit axe de cette ellipse \(=r\frac{b}{a}\) et le rayon du cercle inscrit dedans, résultant de la compression de l'ellipse de demi axes \(a, b\), est égal à \(b\).

Tel qu'illustré, fixons-nous comme système de coordonnées les axes de l'une des ellipses inscrites dans le cercle (l'origine \(=Q\)), avec les deux autres ellipses dans la partie supérieure de plan. Alors la tangente à ellipse centrale et à l'ellipse en haut à droite en le point \(T\) passe aussi par le point \(O\): c'est l'un des trois axes de symétrie de la figure et elle fait un angle de \(\frac{2\pi}{3}\) avec l'axe vertical et donc un angle de\(\frac{\pi}{6}\) avec l'axe horizontal, ce qui lui donne une pente de \(m=\arctan{\frac{-\pi}{6}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\). En comprimant la figure horizontalement d'un facteur de \(\frac{b}{a}\), l'ellipse devient un cercle la pente de la tangente en \(T'\) passant par \(O'\) devient \(m'=-\frac{a}{\sqrt{3}b}\). Aussi, par la similitude entre les triangles \(\triangle{Q'T'H}\) et \(\triangle{O'Q'T'}\), on voit que la pente du segment qui joint l'origine \(Q'\) au point \(T'\) est égale à \(-(m')^{-1}=\frac{\sqrt{3}b}{a}\). On en tire le rapport suivant:

$$\frac{\overline{Q'T'}}{\overline{T'H}}=\frac{b}{h}=\frac{\sqrt{h^2+\frac{a^2h^2}{3b^2}}}{h}=\sqrt{1+\frac{a^2}{3b^2}}$$

La similitude entre les triangles \(\triangle{Q'T'H}\) et \(\triangle{O'Q'T'}\) fait en sorte que la hauteur \(d\) des points \(O\) et \(O'\) est telle que \(d\div b=b\div h\) et donc on a

$$d=\frac{b^2}{h}=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{3}}$$

Théorie des ellipses

Or, par le théorème sur le cercle inscrit dans une ellipse, nous disposons d'une relation entre les demi-axes d'une ellipse, le rayon du cercle inscrit dedans et la distance entre le centre du cercle et celui de l'ellipse. Dans notre cas, la distance entre les centres est \(d\), le rayon du cercle est \(b\) et les demi-axes de l'ellipses sont \(r\) et \(\frac{b}{a}r\). Le théorème donne

$$\Bigg(\frac{d}{\sqrt{r^2-\frac{b^2}{a^2}r^2}}\Bigg)^2+\Bigg(\frac{b}{\frac{b}{a}r}\Bigg)^2=1$$

Dans cette dernière équation, substituons \(d\) par son expression en fonction de \(a\) et \(b\) et on retrouve enfin une expression de \(r\) en fonction de \(a\) et \(b\):

$$r=\frac{2a^2}{\sqrt{3a^2-3b^2}}$$

Calcul différentiel

Nous allons procéder comme nous avons vu dans la section sur le calcul différentiel. Le rapport de l'aire des trois ellipses sur l'aire l'aire du cercle, \(f(a)=\frac{3\pi ab}{\pi r^2}\), est la fonction de \(a\) qu'on doit maximiser, où \(b\) ne joue qu'un rôle de constante:

$$f(a)=\frac{3ab}{r^2}=\frac{3b(a^2-b^2)}{4a^3}$$

$$4a^3f(a)=3b(a^2-b^2)$$

Par la règle de dérivation du produit, \((f\,g)'=f'\,g+f\,g'\), on a

$$4a^3\,f'(a)+12a^2\,f(a)=6\,b\,a$$

Posons \(f'(a)=0\), car c'est la condition à remplir pour optimiser la fonction \(f\). L'équation se simplifie:

$$f(a)=\frac{b}{2a}\text{ et }f(a)=\frac{3b(a^2-b^2)}{4a^3}$$

De ces deux égalités, on a une équation linéaire en \(a^2\) dont la solution est \(a^2=3b^2\). On peut vérifier que \(a_{max}=\sqrt{3}b \) maxime \(f\) en comparant avec d'autres valeurs de \(f(a)\), où \(a\neq a_{max}\). En prenant \(a^2=3b^2\), on trouve \(r^2=6b^2\) et on peut enfin dire quel est le rapport du le demi-grand axe de l'ellipse sur le rayon du cercle, lorsque l'aire des ellipses est maximale: 

$$\frac{a}{r}=\sqrt{\frac{1}{2}}\hspace{1cm}\text{ou}\hspace{1cm}2a^2=r^2$$

$$\blacksquare$$

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