VIII. Origami
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Petit clin d'œil à l'art élaboré du pliage du papier, l'origami, qui s'est fort développé durant la période d'Edo.  L'énigme est signée Akama Chû, sur un sangaku datant de 1893, toujours accroché dans le temple de Mangan-ji, dans la préfecture de Fukushima. 

Problème

«Soit un carré qu'on plie en gardant fixe un côté et en rabattant un sommet \(A\) sur ce côté.  Il s'en suit que l'autre sommet non-fixe \(B\) s'est déplacé en dehors du carré. Le segment qui dépasse ainsi du carré sur le côté joignant \(A\) et \(B\) est de longueur \(d\).  Ce côté rabattu forme un triangle rectangle avec les côtés du carré opposés à \(A\). Le cercle inscrit dans ce triangle est de rayon \(r\). Montrez que \(d=r\).»

Solution de Teisuke Nakamura (1828-1909)
(problème 3.1 de Japanese Temple Geometry Problems)

On se réfère aux points à considérer sur la figure ci-haut. Soit \(d\) la mesure du segment \(\overline{ST}\), Soient \(r\) et \(s\) les rayons des cercles inscrits, respectivement dans les triangles \(\triangle{STU}\) et \(\triangle{SCQ}\). Soit \(c\) la mesure du côté du carré \( =  \overline{CD}= \overline{DA}=\overline{QT}\). Le point \(T\) est l'image du point \(D\) par rapport au pliage passant par \(U\), alors \(  \overline{DU}=\overline{TU}\). On constate premièrement que 

$$ \overline{SQ} =  c - d  \hspace{8mm}\text{ et }  \hspace{8mm}   \overline{CS} = c - \overline{US} -  \overline{TU} $$

Dans le triangle rectangle \(\triangle{STU}\),  le rayon \(s\) et le côté \(d\) sont liés par 

$$ 2s = d + \overline{TU} - \overline{US}$$

Ce pliage d'un carré amène la construction de triangles rectangles semblables: \( \triangle{STU} \sim \triangle{SCQ} \). Utilisons les rapports de similitude entre les côtés des triangles pour relier \(s\) à \(r\):

$$ r \div \overline{CS}= s \div d \Rightarrow r d=s(\overline{CS}) = s( c - \overline{US} -  \overline{TU}) \\ r \div \overline{SQ}=s\div\overline{US} \Rightarrow r(\overline{US}) = s(\overline{SQ}) =s( c - d) $$

En soustrayant la première de ces équations à la deuxième, puis en éliminant \(s\), on a

$$ r( \overline{US} - \overline{ST}) = s( \overline{TU} + \overline{US} - d) = \frac{1}{2}( \overline{TU} + d - \overline{US} )( \overline{TU} - d + \overline{US}) \\ r( \overline{US} - d)=  \frac{1}{2}(  \overline{TU}^2  - \overline{US} + (2d) \overline{US}  - d^2   )  $$

La loi de Pythagore appliquée au triangle \(\triangle{STU}\):

$$\Rightarrow \overline{TU}^2 - \overline{US}^2 =  -d^2 $$

En simplifiant avec ce résultat l'avant-dernière égalité, on obtient

$$ r(\overline{US} - d)=(d)\overline{US} - d^2 = d(\overline{US} - d)$$

$$r = d$$

$$\blacksquare$$

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