C'est le 8e problème du 6e chapitre de Sacred Geometry. Problème proposé en 1842 par Kato Yoshida, un étudiant de Yoshida Tameyuki, dans un sangaku au temple de Ohsu Kanon, dans la ville de Nagoya. La solution est reprise de Japanese
Classé dans la section des «problèmes encore plus difficiles», dans Sacred Geometry, ce problème exige en effet une bonne persévérance calculatoire. La solution ne requiert pas cependant de mathématiques trop pointues.
Notons par \(D_n\) la distance séparant le centre de l'ellipse de demi-axes \(A\) et \(B\) du centre du ne cercle de la chaîne, de \(R_n\). Par le théorème sur le cercle inscrit dans une ellipse, on tire une relation entre les rayons de deux cercles successifs dans la chaîne, disons \(R_1\) et \(R_2\):
$$ D_1 - D_2 = \frac{\sqrt{(A^2-B^2)(B^2-R_1^2)}}{b}-\frac{\sqrt{(A^2-B^2)(B^2-R_2^2)}}{B}= R_1 + R_2 \\ $$
En se débarrassant des racines carrées, on se retrouve avec une équation quadratique en \(R_1\) ou en \(R_2\):
$$ A^4 R_1^2-2A^2(A^2-2B^2)R_1R_2+A^4 R_2^2-4B^4(A^2-B^2) = 0$$
de laquelle on tire deux solutions possibles pour \(R_1\). Ces deux valeurs sont celles des rayons des cercles inscrits dans l'ellipse et qui touchent au cercle de rayon \(R_2\), il s'agit donc de \(R_1\) et de \(R_3\):
$$R_{2\pm1} = \frac{R_2(A^2-2B^2) \pm 2\sqrt{B^4 R_2^2+B^4 A^2-B^6-A^2 R_2^2 B^2}}{A^2}$$
Si le cercle de rayon \(R_2\) est centrée à droite du centre de l'ellipse, alors le cercle à sa droite aura et rayon plus grand que le cercle à sa gauche et on peut ainsi assigner la bonne valeur à \(R_1\) et \(R_3\) selon le sens de la numérotation.
En faisant la somme des rayons \(R_1+R_3\) on trouve un multiple du rayon \(R_2\). Puisque notre numérotation des \(R_i\) est arbitraire, il s'en suit une relation vraie pour tout triplet \(R_{n}, R_{n+1}, R_{n+2}\) de la chaîne:
$$ R_{n+2} = k R_{n+1} - R_{n}\hspace{16mm} \text{ (où } k=\frac{2A^2-4B^2}{A^2}\text{)}$$
Appliquons successivement cette relation au rayons de la chaîne \(R_3, R_4,\ldots R_{10}\) pour les exprimer tous en fonction des rayons \(R_1, R_2\) et de la constante \(k\):
$$ R_3 = k R_2 - R_1 \\ R_4 = (k^2-1)R_2 - k R_1 \\ R_5=(k^3-2k)R_2-(k^2-1)R_1 \\ R_6=(k^4-3k^2+1)R_2-(k^3-2k)R_1 \\ R_7=(k^5-4k^3+3k)R_2-(k^4-3k^2+1)R_1 \\ R_8=(k^6-5k^4+6k^2-1)R_2-(k^5-4k^3+3k)R_1\\ R_9=(k^7-6k^5+10k^3-4k)R_2-(k^6-5k^4+6k^2-1)R_1\\ R_{10}=(k^8-7k^6+15k^4-10k^2+1)R_2-(k^7-6k^5+10k^3-4k)R_1$$
Nous sommes ainsi en mesure de vérifier la relation du problème:
$$R_7(R_1+R_7)=R_4(R_4+R_{10})= f R_1^2 + g R_1 R_2 + h R_2^2 \\ \text{où }\hspace{9mm} f=k^2(k^6-6k^4+10k^2-3) \text{, }\\g=2k^9-14k^7+31k^5-22k^3+3k\\ \text{et }\hspace{9mm}h=k^2(k^2-1)^2(k^2-3)^2 \text{.}\\ \blacksquare $$
\(\Rightarrow\) Construction du collier avec Geogebra
\(\Rightarrow\) Retour aux problèmes tirés des sangaku
