Soit une ellipse de demi-axes \(a\) et \(b\) et de centre \(O\). On y inscrit un cercle de rayon \(c\) et de centre \(C\), qui touche l'ellipse en deux points. À l'un de ces points, \(T\), un autre cercle, de rayon \(r\) et de centre \(R\), extérieur à l'ellipse, est également tangent à l'ellipse. Soit \(k\), la longueur du segment \(\overline{OE}\), la distance séparant \(R\) du prolongement du petit axe de l'ellipse et \(m\), la longueur du segment \(\overline{RO}\). Alors
$$k=\frac{(c\,a^2+r\,b^2)\sqrt{b^2-c^2}}{b\,c\sqrt{a^2-b^2}}\hspace{1cm}\text{et}\hspace{1cm}m=\sqrt{\frac{2b^4r-a^2c^3+(a^2+b^2+r^2)b^2\,c}{b^2\,c}}$$
Ce théorème est un corollaire du théorème sur le cercle inscrit dans une ellipse, lequel s'appuie sur cette perspective tridimensionnelle, où le cylindre et la sphère sont de rayon \(=b\):
Grâce à ce théorème, nous avons découvert les relations suivantes:
$$\overline{OC}=\frac{\sqrt{(a^2-b^2)(b^2-c^2)}}{b}\hspace{1cm}\text{et}\hspace{1cm}\overline{CD}=b\sqrt{\frac{b^2-c^2}{a^2-b^2}}$$
d'où l'on peut calculer, par le théorème de Pythagore, la hauteur du point \(T\):
$$\overline{TD}=\sqrt{c^2-\overline{CD}^2}=\sqrt{\frac{a^2\,r^2-b^4}{a^2-b^2}}$$
Par les angles communs, les triangles \(\triangle{CDT}\) et \(\triangle{CER}\) sont semblables. On en tire que
$$\frac{\overline{CE}}{b}\sqrt{\frac{a^2-b^2}{b^2-c^2}}=\frac{\overline{CE}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{CR}}{\overline{CT}}=\frac{c+r}{r}$$
$$\overline{CE}=\frac{b(c+r)}{c}\sqrt{\frac{b^2-c^2}{a^2-b^2}}$$
Puisque \(\overline{OE}=\overline{CE}+\overline{OC}=\), on a
$$k=\overline{OE}=\frac{b(c+r)}{c}\sqrt{\frac{b^2-c^2}{a^2-b^2}}+\frac{\sqrt{(a^2-b^2)(b^2-c^2)}}{b}$$
$$k=\frac{(c\,a^2+r\,b^2)\sqrt{b^2-c^2}}{b\,c\sqrt{a^2-b^2}}$$
Pour trouver \(m\), on doit d'abord trouver la hauteur du point \(R\). Encore par les mêmes triangles semblables,
$$\frac{\overline{RE}}{\overline{TD}}=\frac{\overline{CR}}{\overline{CT}}=\frac{c+r}{r}$$
$$\overline{RE}=\frac{c+r}{r}\overline{TD}=\frac{c+r}{r}\sqrt{\frac{a^2\,r^2-b^4}{a^2-b^2}} $$
Et, enfin, par le théorème de Pythagore,
$$\overline{RO}=\sqrt{\overline{RE}^2+\overline{OE}^2}$$
$$m=\sqrt{(\frac{c+r}{r})^2\,\frac{a^2\,r^2-b^4}{a^2-b^2}+k^2}$$
$$m=\sqrt{\frac{2b^4r-a^2c^3+(a^2+b^2+r^2) b^2\,c }{b^2\,c}}$$
$$\blacksquare$$
Nous pouvons utiliser le même raisonnement avec un cercle inscrit dans l'ellipse au point \(T\): c'est-à-dire que \(r\) prendrait simplement une valeur négative dans nos calculs et on aurait \(c+r<c\) au lieu de \(c+r>c\).
\(\Rightarrow\) Cercle inscrit en deux points
\(\Rightarrow\) Tangente à l'ellipse et au cercle
\(\Rightarrow\) Retour à la théorie des ellipses