Ce problème est classé parmi les plus difficiles dans Sacred Geometry (5e problème du chapitre 6). Original par le fait qu'il soit conçu par une jeune femme, il met aussi en lumière un joli résultat sur une construction originale.
Problème
«Nous avons un collier de trois cercles inscrits, qui couvre le grand axe de l'ellipse et dont le premier cercle est son cercle de courbure. L'image symétrique du deuxième cercle, par rapport à son point de tangence avec l'ellipse, est aussi tangent à la droite perpendiculaire au grand axe, au point de tangence avec le troisième cercle. Montrez que le rayon du troisième cercle est trois fois plus petit que le rayon du premier cercle.»
Esquisse de solution
Une solution est fournie par le samourai Yoshida Tameyuki (1819-1892), dans son cahier de notes sur les sangaku de la région de Chōshū. Il fait appel à une lemme contenant trois affirmations, qui découlent directement du théorème sur le cercle inscrit dans une ellipse. La deuxième affirmation, cependant, demande un peu plus de «patience algébrique». Soient \(a,b\), les demi-axes de l'ellipse, soit \(R_1\), le rayon de son cercle de courbure, soit \(R_2\), le rayon du deuxième cercle du collier, et soit \(T\), la projection sur le grand axe de l'ellipse du segment joignant le centre du deuxième cercle avec un de ses points de tangence avec l'ellipse, alors le lemme de Yoshida affirme que
$$R_1=\frac{b^2}{a}\hspace{2cm}R_2=3\,R_1-4\frac{r_1^2}{a}\hspace{2cm}T^2=b^2\,\frac{b^2-R_2^2}{a^2-b^2}$$
En faisant les substitutions nécessaires dans ces équations pour se débarrasser de \(R_2\) et en utilisant les contraintes liant \(R_3\) au grand axe, \(a\), et à la distance \(T\), Yoshida arrive au résultat.
Remarques
La construction du problème est impossible avec les rayons des cercles et les demi-axes de l'ellipse tous des nombres entiers, car, pour \(R_3=1\), nous avons
$$a=9\hspace{2cm}b=3\sqrt{3} \hspace{2cm}R_1=3\hspace{2cm}R_2=5$$
Il s'est glissé une représentation trompeuse de cette construction dans Sacred Geometry, car on y voit un cercle tangent à la droite, à l'ellipse et au cercle extérieur à l'ellipse, qui soit de rayon égal au rayon du troisième cercle du collier, ce qui est impossible.
\(\Rightarrow\) Retour à la théorie des ellipses
