Calcul différentiel et optimisation

1. La période d'Edo

2. Calcul différentiel

D. Carrés inscrits dans une ellipse

3. Calcul intégral

4. Théorie des ellipses

5. Problèmes choisis

6. Bibliographie

Calcul différentiel et optimisation

Les mathématiciens japonais de l'époque d'Edo ne disposaient pas encore de calcul différentiel tel qu'on le connaît ni de notre définition formelle de la dérivée d'une fonction en un point, soit la pente de la tangente à la courbe représentant cette fonction dans un plan cartésien ou soit le taux de variation instantané de la fonction par rapport à sa variable:

$$ f'(x_0)=\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $$

Mais ils résolvaient cependant des problèmes d'optimisation et devaient alors être en mesure de dériver des fonctions! Ils savaient bien sûr comment résoudre des équations quadratiques de la forme $ax^2+bx+c=0$ et en déduire les coordonnées de l'extremum: les solutions $x_1 , x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $ sont égales à l'abscisse du seul ou des deux zéros de la parabole d'équation $y=ax^2+bx+c $ (lorsque le discriminant $\sqrt{b^2-4ac} \ge 0 $ ) et leur moyenne, $ \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{-b }{2a} $, est égale à l'abscisse au sommet de la parabole. Vu autrement, la parabole définie par $y=ax^2+bx+c $ atteint une valeur (maximale ou minimale) pour $y$ en la valeur de $x$ pour laquelle la droite définie par $y=2ax+b$ prend une valeur nulle pour $y$. Sans doute par analogie et par essai et erreur, ils en sont arrivés à comprendre que l'on atteint l'extremum de toute fonction polynomiale de degré supérieur ou égal à $2$ en trouvant les zéros de sa fonction dérivée, obtenue en dérivant chaque terme $a_n x^n$ en $ a_{n} n x^{n-1} $. Ainsi, la fonction $ f(x)= x^3 - x$ atteint son maximum en $x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} $, soient les deux solutions de $f'(x)=3x^2-1=0$.

Hidetoshi Fukagawa présente, dans son livre Sacred Geometry un exemple de problème (§4, problème 44) où l'on doit trouver la valeur d'un paramètre pour lequel une aire est maximale. Regardons ce problème puis tentons de voir comment les mathématiciens de l'époque s'en sont probablement tirés pour le résoudre. La règle de dérivation du produit de fonctions est facilement vérifiable dans le cas des fonctions polynomiales, $(f g)'=f'g+fg'$. et il s'en suit que $\forall n \in \mathbb{N}$, $(f^n)'=n f^{n-1} f'$. On présume que les mathématiciens de l'époque présumaient ces règles vraies aussi pour d'autres fonctions. On peut se demander également s'ils appliquaient ce calcul différentiel à d'autres problèmes que celui de la recherche des extremums d'une fonction.

Problème

Tiré d'un sangaku suspendu en 1821 au temple de Ohma Shinmeiysa, dans le village de Yamada gun, dans la préfecture de Gumma. Ce problème est cité dans un manuscrit inédit de Nakamura Tokikazu, Saishi Shinzan, contenant les problèmes de 208 sangaku datant de 1731 à 1828.

«Soit un losange de côté $a$ et un carré inscrit dedans, de côté $c$, dont deux sommets opposés sont les sommets les plus rapprochés du losange. Soit $t = c \div \sqrt{2}$ la demi-diagonale commune au carré et au losange. Soit la valeur de $a$ fixée, pour quelle valeur de $t$ la portion de l'aire intérieure du losange qui est extérieure au carré (aire de la région en rouge) est maximale?»

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Solution à la mode d'Edo

L'aire du losange $= A_L=2t \sqrt{a^2-t^2}$ et l'aire du carré $= A_C=2t^2$. Nous cherchons à maximiser l'aire totale définie par la différence $A = A_{L}-A_{C} = 2t \sqrt{a^2-t^2}-2t^2$. Considérons $A$ comme une fonction de $t$ que nous allons dériver ($A' = \frac{dA}{dt}$) et tentons de retrouver une expression reliant $A$, $t$ et $a$, dans laquelle il n'y a que des termes libres de racines carrées. Nous nous retrouvons alors avec l'équation $ (A + 2t^2)^2 = 4t^2 (a^2-t^2) $. Dérivons ensuite le tout par rapport à $t$ selon la règle du produit, faisons les substitutions $A'=0$ et $ A=A_{max}$ et divisons par un facteur $8t$, puis isolons $A_{max}$:

$$ 2(A + 2t^2)(A' + 4t) = (4t^2) (-2t)+ (8t) (a^2-t^2) \\ 2(A_{max} + 2t^2)(4t) = (8t) ( a^2 - 2 t^2 ) \\ A_{max} = a^2 - 4t^2 $$

En substituant $A$ par cette expression trouvée pour $A_{max}$ dans notre première formule pour l'aire totale $A$, nous obtenons enfin une équation quadratique en $t^2$, de laquelle on tire quatre valeurs possibles pour le $t$ donnant l'aire maximale, qu'on pourra appeler $t_{max}$: $$ a^2 - 4t^2 = 2t\sqrt{a^2-t^2}-2t^2 \\ ( a^2 - 2t^2)^2 = 4t^2 (a^2-t^2) \\ a^4 - 4 a^2 t^2+ 4t^4 = 4t^2a^2-4t^4 \\ (8) t^4 - (8 a^2) t^2 + ( a^4 ) = 0 \\ t^2 = \frac{(8 a^2) \pm \sqrt{ (8 a^2)^2 - 4(8) a^4 }}{16}\\ t^2 = a^2 \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{8}} \\ \Rightarrow t_{max} \in \{ \pm a \sqrt{ \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{8}} } \}\\ $$ Nous optons naturellement pour une valeur de $t_{max} > 0 $ , mais comment choisir parmi les deux valeurs possibles pour $t_{max}^2$? Il se trouve que, dans la construction de notre problème, la demi-diagonale commune au carré et au losange ne peut être supérieure à $ a \frac{1}{\sqrt{2} } $, car c'est le cas extrême où le carré et le losange sont confondus et où l'aire $A=0$. Donc le seul candidat possible pour $t$ est la valeur inférieure à cette valeur:

$$ 0 < t_{max} = a \sqrt{ \frac{1}{2} - \sqrt{\frac{1}{8}} } \approx 0,38268 a < a \sqrt{\frac{1}{2}} \\ \text{et} \hspace{1cm} A_{max} = a ( \sqrt{2} - 1 ) \approx 0,41421 a \\ \blacksquare$$

Autres problèmes d'optimisation tirés des sangaku

$\Rightarrow$ Trois ellipses dans une cercle

$\Rightarrow$ Trois carrés dans une ellipse

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