L’époque d’Edo correspond au règne du shogunat Tokugawa (1603-1867), qui choisit Edo (aujourd’hui Tokyo) comme capitale, l’ancienne capitale impĂ©riale Ă©tant Kyoto.  Cette pĂ©riode fut marquĂ©e par une politique d’isolement du pays, appelĂ©e sakoku, qui visait Ă  asseoir le pouvoir politique en interdisant les Ă©changes avec le monde extĂ©rieur et en Ă©chappant notamment au danger que reprĂ©sentait la propension des EuropĂ©ens Ă  rĂ©pandre le christianisme. Les marchands nĂ©erlandais qui faisaient exception Ă  cette tendance avaient le droit de dĂ©barquer au port. Les Japonais furent donc pratiquement coupĂ©s du monde et de sa culture scientifique pendant près de trois siècles, mais ils possĂ©daient plusieurs manuscrits et autres hĂ©ritages culturels de la Chine dont ils s'inspirèrent fortement au bout d'une longue appropriation. Le Japon fut alors rĂ©ellement productif tant dans le domaine des mathĂ©matiques qu’au plan artistique en gĂ©nĂ©ral. L’âge d’or de cette pĂ©riode, qui correspond un peu Ă  la Renaissance en Europe, c'est l’ère Genroku (1688-1704), pendant laquelle rayonna notamment le «Newton ou le Leibniz du Japon» : Seki Kowa (1642-1708).

Les grandes formes d’art traditionnel japonais ont en effet vu le jour pendant la pĂ©riode d’Edo, notamment les théâtres nĂ´ et kabuki, le théâtre de marionnettes bunraku, la peinture et les estampes ukiyo-e, le cĂ©lèbre origami, qui transparaĂ®t d'ailleurs sur les sangaku, et les courts poèmes haiku. On voit ci-dessus un extrait d'une cĂ©lèbre estampe de Hokusai, La grande vague de Kanagawa (1831), qui fait partie d'une sĂ©rie de 36 vues sur le mont Fuji.  Mandelbrot y a decelĂ© Ă©tonnamment près d'un siècle et demi plus tard de ses rĂ©volutionnaires fractales, ces motifs prĂ©sentant des autosimilaritĂ©s (ici les vagues peuvent ĂŞtre comparĂ©es Ă  un ensemble de Julia et les nuages Ă  un flocon de Koch).

Wasan versus yosan

Les historiens dĂ©duisent que l’essor des mathĂ©matiques au Japon prend sa source dans l’étude des anciens textes chinois, qui ont Ă©tĂ© importĂ©s avec le bouddhisme au milieu du VIe siècle. Ces derniers durent attendre jusqu’à l’époque d’Edo pour ĂŞtre dĂ©chiffrĂ©s et servir de base aux dites wasan, les mathĂ©matiques locales. Le premier ouvrage mathĂ©matique chinois connu, datant du VIe siècle avant J.C., Chou pei suan ching (Le classique arithmĂ©tique du gnomon et les chemins circulaires du ciel) contient une preuve du thĂ©orème de Pythagore. Un livre plus avancĂ©, probablement apparu vers le IIIe siècle avant J.C. et considĂ©rĂ© comme le plus influent, Chiu chang suan shu (Les neuf chapitres sur l’art mathĂ©matique), dĂ©voile le calcul d’aires de cercles et de polygones, la rĂ©solution de systèmes d’équations linĂ©aires et probablement une des premières Ă©tudes de l’équation quadratique et une des premières mentions des nombres nĂ©gatifs.

Les mathĂ©maticiens fondateurs wasan sont Kambei Mori (dĂ©but du XVIIe siècle) et son disciple Yoshida Kōyū (1598-1672). Le premier est responsable de la popularisation de l’usage du soroban (le boulier japonais) pour les calculs arithmĂ©tiques et le second publia en 1627 un ouvrage dans la mĂŞme lignĂ©e, Jinkō-ki (Petits et grands nombres), dont le nom devint un synonyme au Japon d’arithmĂ©tique. Les wasan furent alors orientĂ©es autour du calcul. L’âge d’or des wasan vint avec Kowa Seki, auquel on attribue une première thĂ©orie des dĂ©terminants, prĂ©cĂ©dant celle de Leibniz, le dĂ©veloppement des mĂ©thodes de rĂ©solution des polynĂ´mes de degrĂ© allant jusqu’au 1458^e degrĂ©. Seki et particulièrement Takebe Katahiro, l'un de ses  Ă©lèves, dĂ©veloppèrent l'Ă©quivalent du calcul intĂ©gral avec le enri, ou «principe du cercle», lequel rĂ©pond Ă  la question de la quadrature du cercle, de l'estimation prĂ©cise du nombre \(\pi\) et au calcul d'aires et de volumes courbes. Un hĂ©ritage non-nĂ©gligeable de Seki fut l'utilisation d'une notation permettant de manipuler les polynĂ´mes, le tenzan, ce qui lui permit de dĂ©velopper ses mĂ©thodes pour rĂ©soudre les Ă©quations algĂ©briques.

Les publications de mathĂ©maticiens au cours du XVIII^e siècle dĂ©montrent, comme les sangaku, un intĂ©rĂŞt pour les problèmes gĂ©omĂ©triques impliquant des cercles, des ellipses, des sphères, des ellipsoĂŻdes, des polygones et des polyèdres. On en dĂ©duit un certain dialogue entre mathĂ©maticiens via les sangaku. Hidetoshi Fukagawa, le professeur ayant ramenĂ© Ă  la surface les sangaku, suggère qu’ils ont fortement inspirĂ© Kowa dans ses recherches. L’isolement de la pĂ©riode d’Edo permit aux Japonais de dĂ©velopper des mathĂ©matiques de leur crĂ», parallèlement au monde extĂ©rieur; ces wasan ont Ă©tĂ© l’objet d’études dans les Ă©coles destinĂ©es aux Ă©lites, mais aussi dans les temples, oĂą venaient s’instruire les paysans.  Cet isolement imposĂ© cessa par l’intervention amĂ©ricaine en 1854 et le règne des Tokugawa tomba en 1867. Il s’ensuivit une invasion progressive des yosan, les mathĂ©matiques occidentales, qui furent alors adoptĂ©es par le nouveau rĂ©gime.